可微流形/黎曼流形

定义（黎曼度量）:

设 $M$ 为 ${\mathcal {C}}^{k}$-可微流形。黎曼度量 $g$ 在 $M$ 上是内积的集合

$g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$

使得 $g_{p}$ 矩阵的元素包含在 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 中。

定义（黎曼流形）:

黎曼流形是一个对 $(M,g)$，其中 $M$ 是一个可微流形，而 $g$ 是 $M$ 上的黎曼度量。