控制中的 LMI/页面/H 无穷最优滤波器

最优滤波是一种在存在噪声和干扰信号的情况下自适应提取弱期望信号的方法。最优滤波的目标是设计一个滤波器，该滤波器作用于广义系统的输出 $z$ ，并优化从 w 到滤波输出的传递矩阵。

系统

考虑具有最小状态空间实现的连续时间广义 LTI 系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}w\\z&=C_{1}x+D_{11}w,\\y&=C_{2}x+D_{21}w,\end{aligned}}

其中假设 $A$ 是 Hurwitz 的。

数据

作为输入所需的矩阵是 $A,B_{1},C_{2},C_{1},,D_{11},D_{21}$ .

优化问题

一个 $H\infty$ -最优滤波器旨在最小化 $H_{\infty }$ 以下方程中 ${\tilde {P}}(s)$ 的范数。

{\begin{aligned}{\tilde {P}}(s)={\tilde {C}}_{1}(sI-{\tilde {A}})^{-}1{\tilde {B}}_{1}+{\tilde {D}}_{11},\\{\text{where}}\\{\tilde {A}}={\begin{bmatrix}A&&0\\B_{f}C_{2}&&A_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {B}}_{1}={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{f}D_{21}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {C}}_{1}={\begin{bmatrix}C_{1}-D_{f}C_{2}-C_{f}\end{bmatrix}}&<0\\{\tilde {D}}_{11}=D_{11}-D_{f}D_{21}\\\end{aligned}}

LMI： $H_{\infty }$ - 最优滤波器

求解 $A_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}},B_{n}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{y}},C_{f}\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}}$ ， $X,Y\in \mathbb {S} ^{n_{x}}$ 和 $\nu \in \mathbb {R} _{>0}$ ，使 $\zeta (\nu )=\nu$ 在 $X>0,Y>0$ 的约束下最小化。