A-Level 数学与进阶数学/代数表达式

分数

分数是您应该在这个级别上熟练使用的，应该是轻而易举的。请记住 ${\frac {a+b+c}{x}}={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x}}$ 是正确的，但一般情况下 ${\frac {x}{a+b}}\neq {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{b}}$。还需要记住分母不能为零。

因式分解表达式

因式是出现在表达式多个部分的数字或变量；它可以被“提取”以帮助简化表达式。例如，$ax+ay$ 有一个因子 $a$，因此表达式可以简化为 $a(x+y)$。

展开表达式

展开表达式基本上是因式分解的逆过程。展开括号时很容易出错，因此应小心谨慎。一个常见的例子是 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$，许多学生会误以为它是 $x^{2}+y^{2}$。另一个需要记住的重要公式是平方差公式：$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$。

指数

在处理指数时，有一些基本规则需要记住

$a^{1}=a$

$a^{0}=1$

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

$a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}$

$a^{-m}={\frac {1}{a^{m}}}$

在学习对数时，我们将重新讨论这些概念。

根式

根式是包含平方根的表达式。与指数一样，根式的基本规则是

${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$

$a={\sqrt {a^{2}}}={\sqrt {a}}{\sqrt {a}}$

$a-b=({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})$

分母有理化

根据定义，平方根是无理数。这使得它们难以处理，尤其是在分数的分母中，当试图简化表达式时。为了解决这个问题，我们使用“分母有理化”的过程。为此，我们用同一个数乘以分子和分母，因为 ${\frac {a}{a}}=1$，所以我们避免改变分数的值，但仍然改变了我们正在处理的数字。

示例

为了对 ${\frac {2+{\sqrt {3}}}{\sqrt {6}}}$ 进行分母有理化，完整的计算过程如下

${\frac {2+{\sqrt {3}}}{\sqrt {6}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{\sqrt {6}}}\times {\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {6}}}={\frac {2{\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}{\sqrt {6}}}{{\sqrt {6}}{\sqrt {6}}}}={\frac {2{\sqrt {6}}+3{\sqrt {2}}}{6}}$.