计算理论：紧凑集合符号

紧凑集合符号是描述集合中每个元素属性的实用工具，而不是写出集合的所有元素。

下表列出了紧凑集合符号所需的所有符号。

符号	含义
x ∈ S	x 是 S 的元素
|	使得
∧	和
∨	或
<	小于
≦	小于或等于
>	大于
≧	大于或等于
A ⊆ B	A 是 B 的子集
A ⊂ B	A 是 B 的真子集
C = A ∪ B	C 是 A 和 B 的并集
C = A ∩ B	C 是 A 和 B 的交集
C = A \ B	C 是 A 和 B 的差集

示例 1

我们可能想要描述一个集合 A，它包含所有大于 10 的自然数。

这意味着我们对 ℕ 的子集感兴趣，使得它的每个元素都大于 10。

使用集合符号，这个集合可以描述为

A = {x|x ∈ ℕ ∧ x> 10}

示例 2

这次集合 A 被描述为自然数，它们是 10 的倍数。这可以表示为

A = {10x|x ∈ ℕ}

示例 3

集合 A 的元素是所有偶数，最多包括 12。集合符号允许我们将这个集合写成 {0,2,4,6,8,10,12}，在这个例子中是可行的。

然而，如果 A 被描述为所有偶数，最多包括 1,000,000，这将非常不切实际！

A = {2x | x ∈ N &and 2x ≦ 1,000,000}

下表解释了每个表达式是如何与集合 A 元素的英文描述相关联的。

英文描述...	... 用集合符号表示
x 必须是偶数	2x
使得	2x |
2x 必须是自然数	2x ∈ N
2x 必须小于或等于 1,000,000	2x ≦ 1,000,000

示例 4

集合 A 被描述为所有 3 的自然倍数，小于 5,000。

A = {3x | x ∈ N ∧ 3x < 5,000}

下表解释了每个表达式是如何与集合 A 元素的英文描述相关联的。

英文描述...	... 用集合符号表示
x 必须是 3 的倍数	3x
使得	3x |
x 必须是自然数	x ∈ N
3x 必须小于 5,000	3x < 5000

问题 使用集合符号，定义集合 A 为所有能被 4 整除的数字。以下哪些术语适用于 A：可数、不可数、有限、无限。 答案 A = {4x | x ∈ N } 集合 A 是一个可数无限集。

编程

并非每种编程语言都提供开箱即用的集合论计算能力。在 Visual Basic 中，它只有在 VB.NET 2008 及更高版本中才可用，使用 LINQ 库，您必须导入这些库才能使其工作

Imports System.Linq
Imports System.Xml.Linq

Module Module1
    Sub Main()

    Dim A() As Integer = {0,2,4,6,8,10,12}
    Dim B() As Integer = {0,3,6,9,12}

    Dim unionAB = A.Union(B)
    Console.WriteLine("Union of A and B:")
    For Each n In unionAB
       Console.WriteLine(n)
    Next

    Dim differenceAB = A.Except(B) 'Except performs the same function as Difference
    Console.WriteLine("Difference of A and B:")
    For Each n In differenceAB
       Console.WriteLine(n)
    Next

    Dim intersectAB = A.Intersect(B)
    Console.WriteLine("Intersection of A and B:")
    For Each n In intersectAB
       Console.WriteLine(n)
    Next

    End Sub
End Module