计算机硬件基础：布尔恒等式

有时，非常复杂的逻辑门组合可以被简化，以降低成本并提高电路速度。一个快速的方法是通过布尔恒等式。布尔恒等式是快速规则，允许您简化布尔表达式。对于下面描述的所有情况

A = It is raining upon the British Museum right now (or any other statement that can be true or false)
B = I have a cold (or any other statement that can be true or false)

恒等式	解释	真值表
$A.A=A$	在下雨 AND 下雨 等同于 下雨	$A$ $A$ $A.A$ 0 0 0 1 1 1
$A.{\overline {A}}=0$	在下雨 AND 不下雨 同时发生是不可能的，因此该语句始终为假	$A$ ${\overline {A}}$ $A.{\overline {A}}$ 0 1 0 1 0 0
$1+A=1$	2+2=4 OR 下雨。 因此，无论是否下雨，2+2=4 都是成立的，不可能使方程变为假	1 $A$ $1+A$ 1 0 1 1 1 1
$0+A=A$	1+2=4 OR 下雨。 因此，1+2=4 的语句并不重要，唯一决定该语句真假的是是否下雨	$0$ $A$ $0+A$ 0 0 0 0 1 1
$A+A=A$	在下雨 OR 下雨 等同于 下雨	$A$ $A$ $A+A$ 0 0 0 1 1 1
$A+{\overline {A}}=1$	在下雨 OR 不下雨 始终为真	$A$ ${\overline {A}}$ $A+{\overline {A}}$ 0 1 1 1 0 1
$0.A=0$	1+2=4 AND 下雨。 1+2=4 是不可能的，因此该方程始终为假	$0$ $A$ $0.A$ 0 0 0 0 1 0
$1.A=A$	2+2=4 AND 下雨。 该语句完全取决于是否下雨，因此我们可以忽略 2+2=4 部分	$1$ $A$ $1.A$ 1 0 0 1 1 1
$A+B=B+A$	下雨 OR 我感冒，与说 我感冒 OR 下雨 是相同的。	$A$ $B$ $A+B$ $B+A$ 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
$A.B=B.A$	下雨 AND 我感冒，与说 我感冒 AND 下雨 是相同的。	$A$ $B$ $A.B$ $B.A$ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
$A+(A.B)=A$	下雨 OR (下雨 AND 我感冒)。如果下雨，则等式两边都为真。或者，如果不下雨，则等式两边都为假。因此，一切都取决于 A，我们可以用 A 代替整个式子。或者，我们可以使用布尔代数公式进行运算。 $A+(A.B)=(1.A)+(A.B)$ 使用恒等式规则 $1.A=A$ $(1.A)+(A.B)=A.(1+B)$ 将等式两边共同的 A 提出来。 $A.(1+B)=A.1$ 使用恒等式规则 $1+B=1$ $A.1=A$ 使用恒等式规则 $1.A=A$	$A$ $B$ $A.B$ $A+(A.B)$ 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
$A.(A+B)=A$	下雨并且（下雨或者我感冒）。如果下雨，那么等式两边都为真。或者如果不下雨，那么两边都为假。因此，一切都依赖于 A，我们可以用 A 来代替整个表达式。或者我们可以玩玩布尔代数方程 $A.(A+B)=(0+A).(A+B)$ 使用恒等式规则 $0+A=A$ $(0+A).(A+B)=A+(0.B)$ 将等式两边公有的 A 提出来 $A+(0.B)=A+0$ 使用恒等式规则 $0.B=0$ $A+0=A$ 使用恒等式规则 $0+A=A$	$A$ $B$ ${A+B}$ $A.(A+B)$ 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

简化简单布尔表达式的例子。

例子：简化布尔表达式 让我们试着简化以下内容 $A+B+B$ 使用规则 $B+B=B$ $A+B+B=A+B$ 尝试一个稍微复杂一点的例子 $(A.0)+B$ 首先处理括号 $(0)+B$ as $0.A=0$ $B$ as $0+B=B$ $(A.0)+B=B$

练习：简化布尔表达式 $A+0$ 答案 $A$ $A.0$ 答案 $0$ $E+1$ 答案 $1$ $A+A+B+B+C$ 答案 $A+B+C$ $(A.B)+(A.B)$ 答案 $A.B$ $A.A.B.B.C$ 答案 $A.B.C$ $(A+{\overline {A}}).B$ 答案 $(A+{\overline {A}}).B$ 应用恒等式 $A+{\overline {A}}=1$ $(1).B$ 应用恒等式 $1.B=B$ $B$

有时我们需要结合布尔恒等式和方程的“乘法”来进行运算。这并不总是简单，所以请准备好写真值表来检查您的答案。

例子：简化布尔表达式 $(A.B)+A$ 我们接下来可以做什么呢？让我们看看一些恒等式。 $(A.B)+(A.1)$ 使用恒等式 A = A.1 $A.(B+1)$ 从两边取公分母 $A.1$ 因为 B+1 = 1 $A$ 现在让我们来看一个需要“乘法”的例子。 $({\overline {A}}.B)+A$ $({\overline {A}}+A).(B+A)$ 将它乘开 $1.(B+A)$ 消除左侧，因为 $({\overline {A}}+A)=1$ $B+A$ 使用恒等式 $1.Q=Q$

练习：简化布尔表达式 $(A.{\overline {B}})+B$ 答案 $(A.{\overline {B}})+B$ $(A+B).({\overline {B}}+B)$ multiplying out $(A+B).(1)$ $(A+B)$ $(A+B).{\overline {A}}$ 答案 这个需要“乘法”来进行运算。 $(A+B).{\overline {A}}$ $(A.{\overline {A}})+({\overline {A}}.B)$ $0+({\overline {A}}.B)$ $B.{\overline {A}}$ $B.(A+A.B)$ 答案 这个需要“乘法”来进行运算。 $B.(A+(A.B))$ treat the brackets first and the AND inside the brackets first $(B.A)+(B.A.B)$ multiply it out $(B.A)+(A.B)$ as $B.A.B=A.B$ $A.B$ as $(B.A)=(A.B)$ $(A+B).(A+A)$ 答案 $(A+B).(A+A)$ $(A+B).A$ as $A=A+A$ $(A+B).(A+0)$ as $A=A+0$ $A+(B.0)$ take A out as the common denominator $A$ as $(B.0)=0$ $(A.{\overline {B}})+{\overline {A}}$ 答案 这个需要“乘法”来进行运算。 $(A.{\overline {B}})+{\overline {A}}$ $(A+{\overline {A}}).({\overline {B}}+{\overline {A}})$ $1.({\overline {B}}+{\overline {A}})$ ${\overline {B}}+{\overline {A}}$ $(A.B)+{\overline {A}}$ 答案 这个需要“乘法”来进行运算。 $(A.B)+{\overline {A}}$ $(A+{\overline {A}}).(B+{\overline {A}})$ multiplied out $(1).(B+{\overline {A}})$ as $(A+{\overline {A}})=1$ $B+{\overline {A}}$ as $1.Q=Q$ $(A.{\overline {B}})+(A.B)$ 答案 从两边提取公因数，$A$ $A.({\overline {B}}+B)$ As ${\overline {B}}+B=1$ Then $A.({\overline {B}}+B)=A.1$ As $A.1=A$ Then $(A.{\overline {B}})+(A.B)=A$