数据表示基础：二进制小数

二进制小数 - 使用定点表示法

到目前为止，我们只关注了整数，我们需要了解计算机如何表示分数。

来自规范：计算原理简介 了解带小数部分的数字如何以 二进制定点形式表示，使用给定位数 二进制浮点形式表示，使用给定位数。 能够为每种表示形式进行转换，从 给定位数的十进制转换为二进制 给定位数的二进制转换为十进制。

你应该在小学学过十进制小数是如何工作的

10	1		${\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{100}}$
$10^{1}$	$10^{0}$		$10^{-1}$	$10^{-2}$
1	2	.	7	5

如你所见，列标题已扩展到 $10^{-1}={\frac {1}{10}}$ 和 $10^{-2}={\frac {1}{100}}$。我们可以在二进制中做同样的事情，列标题为 $2^{-1}={\frac {1}{2}}$，$2^{-2}={\frac {1}{4}}$，依此类推。因此，在二进制点后有 4 位的 8 位二进制表示的数字 12.75 为 8 + 4 + 0.5 + 0.25

8	4	2	1		${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{16}}$
$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$		$2^{-1}$	$2^{-2}$	$2^{-3}$	$2^{-4}$
1	1	0	0	.	1	1	0	0

请注意，对于小数点后相同位数，**二进制小数提供的精度较低**。它只能取4个不同的值，而十进制数可以用两位数表示100个不同的值。您很快就会看到这可能会导致什么问题。

示例：使用**定点**表示法将十进制数转换为二进制小数 我们将使用下面的表格将数字6.125转换为二进制小数 8 4 2 1 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{8}}$ ${\frac {1}{16}}$ 0 1 1 0 . 0 0 1 0 这看起来很简单，因为6.125 = 4 + 2 + 0.125，但这个更有趣的数字呢：6.4 8 4 2 1 ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{8}}$ ${\frac {1}{16}}$ 0 1 1 0 . 0 1 1 0 但这看起来不对？！这个数字不正确，因为它只达到4 + 2 + 0.25 + 0.125 = 6.375，我们需要更多位来表示二进制小数位。但是，计算机可能会限制您可以使用的位数，因此我们将使用最接近目标数字的数字。您可能会对此感到有点恼火，但不用担心，每次尝试用十进制小数表示${\frac {1}{3}}$时，您都会做出这种折衷，例如0.33333333。

所以您可能会问，如果计算机在处理分数方面如此困难，它如何进行复杂的数学运算。我们到目前为止看到的答案只使用了1个字节，计算机可以使用比这多得多的空间。它们还可以通过两种方式操作给定的位数

• 增加位数以增加数字范围
• 增加小数点后的位数以提高精度

在实践中，它们还会使用一些巧妙的技术，例如**浮点数**（见下文）。

练习：从十进制转换为二进制小数 现在自己尝试一些问题，看看您能做到什么程度。请记住，如果小数位没有足够的位数，请写下最接近目标数字的数字。在每种情况下，使用8位二进制数，小数点后有4位 7.5 答案 0111.1000 4.5625 答案 0100.1001 1.6 答案 0001.1010（这是我们能得到的最近值） 3.3333333 答案 0011.0101（这是我们能得到的最近值） 尝试将这些二进制小数转换为十进制 0111.0100 答案 7.25 1011.1001 答案 11.5625（注意，我们将此视为正数，有些人可能已经了解了**二进制补码**，如果您以前从未听说过，请不要担心，我们很快就会讲到） 要将其解释为二进制补码数，让我们将其取反：0100.0111 = 4 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = -4.4375 如果我想增加存储在定点二进制数中的数字范围，我应该怎么做？ 答案 增加小数点前的位数 如果我想提高存储在定点二进制数中的数字精度，我应该怎么做？ 答案 增加小数点后的位数