A-level 数学/AQA/MFP1

二次方程的根与系数

给定方程 ax²+bx+c=0 的根为 $\alpha$ 和 $\beta$

$\mathrm {sum\ of\ roots} =\alpha +\beta ={{-b} \over {a}}$

$\mathrm {product\ of\ roots} =\alpha \beta ={{c} \over {a}}$

有用结果

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta$
$\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta )^{3}-3\alpha \beta (\alpha +\beta )$
${1 \over \alpha }+{1 \over \beta }={\alpha +\beta \over \ \alpha \beta }$

最后一个来自于当您添加两个分数时。通常公式是

${a \over b}+{c \over d}={ad+cb \over bd}$

复数

复数是一种与我们通常认为的数字不同的“类型”。复数有无限多个，就像有无限多个“普通”或实数一样。为了澄清，实数是指数轴上的任何数字：整数（...-2, -1, 0, 1, 2...）、有理数（可以写成分数形式，例如 1.2、5.75）、无理数（不能写成分数形式，例如 π、√2） - 它们都是实数。复数“超越”了这些普通数字。

考虑一下二次方程的判别式 - 从公式中：$b^{2}-4ac$。请记住，二次方程的判别式决定了其根（解）的性质。判别式≥0 意味着存在实根，而判别式<0 意味着不存在实根。为什么呢？

回想一下二次公式：$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

由此可见，如果$b^{2}-4ac<0$，那么$x$ 将涉及负数的平方根。以二次方程$x^{2}+1=0$为例，我们可以看到$x$ 没有解。我们需要$x^{2}=-1$，那么$x$ 可以是什么？它不能是 1，因为 1 的平方是 1。它也不能是 -1，因为 -1 的平方也是 1。我们该怎么办呢？

虚数单位 i

为了解决这个问题，我们“发明”了一个数字，叫做$i$。$i$ 作为实数并不“存在” - 所以你不可能手里有$i$ 个苹果。因此$i$ 被称为 *虚数*，这就是 i 代表的意思。 $i$ 的关键特性是$i^{2}=-1$。所以在我们上面的例子中，解是$x=i$。对吗？

嗯，不完全是。我们可以使用$i$ 的倍数：2i、3i、4i、0.4i、-0.4i、-1.4i... 。我们可以有$i$ 的正或负、整数、有理数或无理数倍数。让我们简单点，考虑一下$-i$。什么是$(-i)^{2}$？

答案是 -1。为什么？简而言之，负号乘以负号等于正号，而 $i$ 乘以 $i$ 等于 -1，所以结果就是 -1。如果这有点令人困惑，可以将问题视为寻找 $(ab)^{2}$，然后代入 $a=-1$ 和 $b=i$。简而言之，$i^{2}=(-i)^{2}=-1$。将此应用于上述问题，我们得到两个（非实数）解：$x=i$ 和 $x=-i$。

就像我们可以说 1 的平方根是 1 或 -1 一样，-1 的平方根是 i 或 -i。

负数的平方根

我们已经研究了 ${\sqrt {-1}}$。但这本身并不太有用。例如，${\sqrt {-4}}$ 等于多少？我们可以用简化根式的方法来处理这个问题。

${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ 如果 ab = -2，我们可以令 a=-1，b =2。 ${\sqrt {-4}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {4}}$

• i 的幂
• a + bi
• 加法、减法
• 乘法
• “除法”
• 共轭，z，z* 符号
• 共轭作为二次方程的根。
• 考虑实部和虚部
• 从虚数引入复数。

（曼德勃罗集的图像和说明，提及复数的应用）

i 的幂塔

i 的定义的一部分是 $i^{2}=-1$，并且仅基于此事实，我们可以找到任何整数的 i 的幂。

让我们提升一个幂。什么是 $i^{3}$？我们可以把 $i^{3}$ 写成 $i^{2}*i$。我们已经知道 $i^{2}=-1$，因此简化为 $-1*i=-i$。很容易！

让我们尝试下一个幂 - $i^{4}$。我们用同样的方法，写成 $i^{4}=i^{3}*i$。并且很容易代入 $i^{3}=-1$ 得出结论 $i^{4}=1$。想一想，这是有道理的：如果你对 $i^{2}=-1$ 的两边都平方，你会得到什么？

现在我们可以从幂塔上爬下来。 $i^{1}$ 就是 i - 这里没有什么复杂的。如果你想，可以设 $i^{1}=x$，并在 $i^{2}=i*x$ 中求解 x。

我们也可以用它来求 $i^{0}$ - 我们用 y 来表示它。那么

$i^{1}=i*y$ $i=i*y$

复数，更正式地说

复数是形如 $a+bi$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。我们称 a 为实部

所以如果要使用二次方程式 ${\frac {2\pm {\sqrt {-2^{2}-4\cdot 1\cdot 16}}}{2}}$. 你会得到 ${\frac {2\pm {\sqrt {-64}}}{2}}$. 由于 ${\sqrt {-1}}=i$, 它可以简化为 ${\frac {2\pm 8i}{2}}$, 然后简化为 $1\pm 4i$, 其中 1 是实部，8i 是虚部。

复数运算

加法和减法

复数的加法和减法非常直观：分别对实部和虚部求和。（或者将它们合并成一个表达式并分组同类项。）

示例（加法） $(3+4i)+(4-5i)=(3+4)+(4-5)i=7-i$

示例（减法） $(3+4i)-(4-5i)=(3-4)+(4+5)i=-1+9i$

乘法

乘复数最简单的方法是在括号中形成一个表达式，然后展开括号并简化。例如

$\displaystyle (3+2i)\times (4-i)$

展开括号得到：

$\displaystyle 12-3i+8i-2i^{2}$

然后收集同类项并将 $i^{2}$ 替换为 $-1$；

$\displaystyle 12+5i-2\times -1$

$\displaystyle 12+5i+2$

因此最终结果为：

$\displaystyle 14+5i$

除法

FP1 中没有涵盖除法，但在其他更纯的模块中涵盖了除法。

复共轭

每个复数都有一个复共轭，它是由取原始复数并将虚部的符号改变而形成的。例如，$3+2i$ 的复共轭是 $3-2i$。这些数通常被称为共轭对。

z 的共轭记为 z*。

共轭对具有这样的性质：当一个从另一个中减去时，结果是纯虚数。同样，如果它们相加或相乘，结果是一个实数。这意味着对于具有实系数但虚根的二次方程，根将是一对复共轭。

示例

$\displaystyle x^{2}+2x+14=0$

此方程无法因式分解，因此我们使用二次公式 ($\scriptstyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$) 来解它；

$x={\frac {-2\pm {\sqrt {2^{2}-4\times 1\times 14}}}{2}}$

你会发现根号下的部分是负数，这意味着二次方程的根不是实数。

$x={\frac {-2\pm {\sqrt {-52}}}{2}}$

用 i 表示根，简化无理数。

$x={\frac {-2\pm 2i{\sqrt {13}}}{2}}$

现在你可以约简分数，得到答案。

$\displaystyle x=-1\pm i{\sqrt {13}}$

不等式

• 用分母的平方乘以不等式，以确保乘法为正数
• 临界值
• 不等式的真值表和图形
• 因式分解

三角函数

• sin、cos、tan 的特殊角度
• 弧度
• 求一般解而不是特解
• 使用 sin/cos === tan、cos^2+sin^2 === 1

矩阵和变换

• 矩阵的定义
• 矩阵的阶
• 矩阵加法、减法
• 矩阵乘法
  • 矩阵乘法何时有定义
• 用矩阵表示变换
  • 反射、反射、放大
• 复合变换
• 绕原点旋转 theta 角的公式、关于直线 y = x * tan theta 的反射公式

线性规律

• 对数规律
• 利用对数规律将以下函数化为线性关系
  • y=a^x + b
  • y=x^a + b

级数

简单来说，级数是将数列的项加在一起的结果，例如，将数列 2n+1 的项加在一起产生的级数为；

$\displaystyle 3+5+7+9...$

这是一个无限数列，因为它有无限多个项。但是，如果我们将它限制在数列的前 5 项，我们就创建了一个有限数列。这更容易处理和求和，因此；

$\displaystyle 3+5+7+9+11=35$

为了简单地写这个，我们使用求和符号。

求和符号

希腊字母 sigma 的大写形式，$\Sigma$ 用于表示“求和”。它用变量的范围写在它的上方和下方（最大值在上方，最小值在下方），并且在它的下方写着表示要改变的变量的字母。因此，上面显示的第二个例子将写成；

$\sum _{n=1}^{5}(2n+1)$

上面显示的第一个例子也可以用求和符号写成，在 sigma 上方使用无穷大符号 )$\infty$)。

用初始计数器值不为 1 求和

如果 sigma 下面的数字不是 1，那么您应该使用两个 sigma 符号将表达式拆分，例如

$\sum _{n=5}^{10}(2n+1)$

变成；

$\sum _{n=1}^{10}(2n+1)-\sum _{n=1}^{4}(2n+1)$

请注意，在表达式的第二部分中，变量的最大值比原始表达式中的最小值少一。

r、r^2、r^3 的公式

使用特殊的公式来求解 sigma 符号上方有变量的级数的值。

r 的公式

求前 n 个自然数的和的表达式可以用求和符号写成；

$\sum _{r=1}^{n}r$

这可以用一个只包含 n 的表达式写成；

${\frac {n(n+1)}{2}}$

r^2 的公式

求前 n 个平方数的和的表达式可以用求和符号写成；

$\sum _{r=1}^{n}r^{2}$

它也可以用n表示成一个表达式。

${\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$r^{3}$ 公式

可以利用西格玛符号来表示将前n个立方数相加的表达式；

$\sum _{r=1}^{n}r^{3}$

它也可以用n表示成一个表达式。

${\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

对西格玛符号进行操作

利用以上公式的组合，我们可以找到更复杂表达式的值。例如；

$\sum _{r=1}^{10}(r^{3}+5r-7)$

首先，你可以拆分表达式的项，你也可以在西格玛符号之前提取项的系数。

$\sum _{r=1}^{10}r^{3}+5\sum _{r=1}^{10}r-\sum _{r=1}^{10}7$

利用以上公式，你可以用它们的等效表达式来替换前两项。对于最后一项，你可以看到它是十个七的总和，或者 $\scriptstyle 7\times 10$

${\frac {10^{2}(10+1)^{2}}{4}}+5{\frac {10(10+1)}{2}}-7\times 10$

现在这个表达式可以像任何其他表达式一样求解；

$\displaystyle 3025+275-70$

$\displaystyle 3230$

微积分

• 从第一性原理出发进行微分
• 差商
• 反常积分
  • 为什么是反常的
  • 积分是否存在？

有理函数

• 定义、示例
• 渐近线 - 定义
• 如何找到垂直渐近线和水平渐近线。
• 通过考虑以下内容来绘制函数图
  • 渐近线
  • x 和 y 轴截距
  • 接近渐近线时的行为

其他函数

• 利用二次方程的判别式找出最大值和最小值
  • 注意，商法则的微分被明确排除在外。

双曲线、抛物线和椭圆

• 定义、示例、广义公式
• 变换
• 双曲线的渐近线
• 椭圆与圆的关系
  • 焦点。

另请参阅

• AQA 数学规范 2009（第 48-50 页）