A-level 数学/AQA/MPC2

数列和级数

符号

$u_{n}\,\!$ — 数列的通项；第 n 项

$a\,\!$ — 数列的第一项

$l\,\!$ — 数列的最后一项

$d\,\!$ — 等差数列的公差

$r\,\!$ — 等比数列的公比

$S_{n}\,\!$ — 前 n 项之和：$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\,\!$

$\sum \,\!$ — 求和

$\infty \,\!$ — 无穷大（这是一个概念，而不是一个数字）

$n\rightarrow \infty \,\!$ — n 趋于无穷大（n 越来越大）

$|x|\,\!$ — x 的模数（x 的值，忽略任何负号）

收敛、发散和周期数列

收敛数列

如果一个数列的第n项在n趋近于无穷大的时候越来越接近一个有限数L，那么这个数列就称为收敛数列。L被称为数列的极限。

${\mbox{As }}n\to \infty {\mbox{, }}u_{n}\to L\,\!$

另一种表示相同意思的方式是

$\lim _{n\to \infty }u_{n}=L\,\!$

收敛数列的极限定义

通常，由 $u_{n+1}=f(u_{n})\,\!$ 定义的数列的极限 $L\,\!$ 由 $L=f(L)\,\!$ 给出。

发散数列

当 $n$ 增加时，不趋于极限的数列被称为发散数列。例如：1，2，4，8，16，...

周期数列

以规律循环（振荡）的数列被称为周期数列。

级数

级数是数列各项的和。那些具有可数项的级数被称为有限级数，而那些具有无穷项的级数被称为无穷级数。

等差数列

等差数列（AP）是指相邻两项之差为常数的数列，这个常数称为公差。从一项到下一项，只需加上公差即可。

$u_{n+1}=u_{n}+d\,\!$

等差数列第n项的表达式

$u_{n}=a+(n-1)d\,\!$

等差数列前n项和的公式

等差数列的和被称为等差级数。

$S_{n}={\frac {n}{2}}\left\lbrack 2a+(n-1)d\right\rbrack \,\!$

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a+l)\,\!$

前n个自然数之和的公式

自然数是指正整数，即 1，2，3，...

$S_{n}={\frac {n}{2}}(n+1)\,\!$

等比数列

等比数列（GP）是指一个序列，其中任何两个相邻项之间的比率是一个常数，称为公比。要从一个项到下一个项，只需乘以公比。

$u_{n+1}=ru_{n}\,\!$

等比数列的第 n 项表达式

$u_{n}=ar^{n-1}\,\!$

等比数列前 n 项和的公式

$S_{n}=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)\,\!$

$S_{n}=a\left({\frac {r^{n}-1}{r-1}}\right)\,\!$

等比数列无穷项和的公式

$S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}\qquad {\mbox{where }}-1<r<1\,\!$

二项式定理

二项式定理是一个公式，它提供了一种快速有效的方法来展开 **和的幂**，其一般形式为 $(a+b)^{n}$.

二项式系数

展开 $(1+x)^{n}$ 时，$(r+1)^{th}$ 项的系数的一般表达式是

${}^{n}\!C_{r}={\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

其中 $n!=1\times 2\times 3\times \ldots \times n$

$n!$ 称为 *n* 的阶乘。根据定义，$0!=1$。

(1+x)ⁿ 的二项式展开

$(1+x)^{n}=1+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2}+{\binom {n}{3}}x^{3}+\ldots +x^{n}$

$(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}+\ldots +x^{n}$

$(1+x)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}x^{r}$

三角函数

弧长

$l=r\theta \,\!$

扇形面积

$A={\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$

三角恒等式

$\tan {\theta }\equiv {\frac {\sin {\theta }}{\cos {\theta }}}$

$\sin ^{2}{\theta }+\cos ^{2}{\theta }\equiv 1\,\!$

指数和对数

指数定律

$x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}\,\!$

$x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}\,\!$

$\left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}\,\!$

$x^{0}=1\,\!$ (当 x ≠ 0 时)

$x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\,\!$

$x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}\,\!$

$x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}\,\!$

对数

$10^{2}=100\Leftrightarrow \log _{10}{100}=2$

$10^{3}=1000\Leftrightarrow \log _{10}{1000}=3$

$2^{5}=32\Leftrightarrow \log _{2}{32}=5$

$\log _{a}{b}=c\Leftrightarrow a^{c}=b$

对数定律

对数的和等于积的对数。

$\log {x}+\log {y}=\log {xy}\,\!$

对数的差等于商的对数。

$\log {x}-\log {y}=\log {\left({\frac {x}{y}}\right)}$

指数可以从幂的对数中移出。

$k\log {x}=\log {\left(x^{k}\right)}$

微分

对两个函数的和或差进行微分

$y=f(x)\pm g(x)\quad \therefore \quad {\frac {dy}{dx}}=f'(x)\pm g'(x)$

积分

积分 axⁿ

$\int ax^{n}\,dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c\qquad {\mbox{ for }}n\neq -1\,\!$

曲线下的面积

曲线 $y=f(x)$ 在极限 $x=a$ 和 $x=b$ 之间的面积由以下公式给出：

$A=\int _{a}^{b}y\,dx$