A-level 数学/AQA/MPC3

函数

映射和函数

我们将函数视为一种操作，它接收一个数字并将其转换为另一个数字。映射是一种更通用的函数类型。它仅仅是一种将一个集合中的数字与另一个集合中的数字相关联的方式。让我们看一下三种不同类型的映射

• 一对一 - 此映射为每个输入提供一个唯一的输出。
• 多对一 - 这种类型的映射会为多个 $x$ 值产生相同的输出。
• 一对多 - 此映射为每个输入产生多个输出。

只有前两种映射是函数。一个不是函数的映射示例是 $f(x)=\pm {\sqrt {x}}$

函数的定义域和值域

一般来说

• $f(x)$ 称为 $x$ 的像。
• 允许的 $x$ 值的集合称为函数的定义域
• 所有像的集合称为函数的值域

模函数

$x$ 的模，记为 $|x|$，定义为

$|x|={\begin{cases}x&{\mbox{for }}x\geq 0\\-x&{\mbox{for }}x<0\end{cases}}$

微分

链式法则

链式法则指出

如果 $y$ 是 $u$ 的函数，而 $u$ 是 $x$ 的函数，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}$

从上面可以看出，第一步是注意到我们有一个可以分解成两个函数的函数，我们知道如何对它们进行微分。此外，该函数的形式为 $f(g(x))$。然后，我们将一个变量分配给内部函数，通常是 $u$，并使用上面的规则；

对 $y=2(x-1)^{3}$ 进行微分

我们可以看到它具有正确的形式，并且我们知道如何对每个部分进行微分。

设 $u=x-1$

现在我们可以重新写原始函数，$y=2u^{3}$

现在我们可以对每个部分进行微分；

${\frac {dy}{du}}=6u^{2}$ 和 ${\frac {du}{dx}}=1$

现在应用上面的规则；${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}*{\frac {du}{dx}}=6u^{2}*1=6u^{2}=6(x-1)^{2}$

乘积法则

乘积法则指出

如果 $y=uv$，其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 的函数，则

${\frac {d}{dx}}(uv)=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$

另一种写乘积法则的方法是

$(uv)'=uv'+u'v\,\!$

或者用拉格朗日表示法

如果 $k(x)=f(x)g(x)$，

则 $k'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

商法则

商法则指出

如果 $y={\frac {u}{v}}$，其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$ 的函数，那么

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

另一种写商法则的方式是

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

x 作为 y 的函数

一般来说，

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$

三角函数

函数 cosec θ、sec θ 和 cot θ

$\operatorname {cosec} {\theta }={\frac {1}{\sin {\theta }}}$

$\sec {\theta }={\frac {1}{\cos {\theta }}}$

$\cot {\theta }={\frac {1}{\tan {\theta }}}$

标准三角恒等式

$\cot {\theta }={\frac {\cos {\theta }}{\sin {\theta }}}$

$\sec ^{2}{\theta }=1+\tan ^{2}{\theta }\,\!$

$\operatorname {cosec} ^{2}{\theta }=1+\cot ^{2}{\theta }$

sin x、cos x 和 tan x 的微分

${\frac {d}{dx}}\left(\sin {x}\right)=\cos {x}$

${\frac {d}{dx}}\left(\cos {x}\right)=-\sin {x}$

${\frac {d}{dx}}\left(\tan {x}\right)=\sec ^{2}{x}$

sin(kx) 和 cos(kx) 的积分

一般来说，

$\int \cos {kx}\ dx={\frac {1}{k}}\sin {kx}+c$

$\int \sin {kx}\ dx=-{\frac {1}{k}}\cos {kx}+c$

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数的微分

一般来说，

${\mbox{when}}\ y=e^{kx},\ {\frac {dy}{dx}}=ke^{kx}$

$\int e^{kx}\ dx={\frac {1}{k}}e^{kx}+c$

自然对数

如果 $y=\ln {x}$，那么

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}$

由此结果可以得出

$\int {\frac {1}{x}}\ dx=\ln {x}+c$

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\ dx=\ln {f(x)}+c,\ {\mbox{provided}}\ f(x)>0$

积分

分部积分法

$\int u{\frac {dv}{dx}}\ dx=uv-\int v{\frac {du}{dx}}\ dx$

标准积分

$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}{\left({\frac {x}{a}}\right)}+c$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {(a^{2}-x^{2})}}}=\sin ^{-1}{\left({\frac {x}{a}}\right)}+c$

旋转体体积

曲线 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 之间所围成的面积绕 $x$ 轴旋转 360° 所形成的旋转体的体积为

$V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\ dx$

曲线 $y=f(x)$ 在 $y=a$ 和 $y=b$ 之间所围成的面积绕 $y$ 轴旋转 360° 所形成的旋转体的体积为

$V=\pi \int _{a}^{b}x^{2}\ dy$

数值方法

迭代方法

迭代方法是一个重复的过程，以产生一系列对所需解的近似值。

数值积分

中矩形法则

$\int _{a}^{b}y\ dx\approx h\lbrack y_{\frac {1}{2}}+y_{\frac {3}{2}}+\ldots +y_{n-{\frac {3}{2}}}+y_{n-{\frac {1}{2}}}\rbrack$

${\mbox{where}}\ h={\frac {b-a}{n}}$

辛普森法则

$\int _{a}^{b}y\ dx\approx {\frac {h}{3}}\lbrack \left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}\ldots +y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots +y_{n-2}\right)\rbrack$

${\mbox{where}}\ h={\frac {b-a}{n}}\ {\mbox{and}}\ n\ {\mbox{is even}}$