A-level 数学/AQA/MS2B

离散随机变量

期望值

期望值，用 E(X) 表示，有时也称为平均值，可以从给定的概率分布计算得出。它可以定义为 $\sum x_{i}p_{i}$，其中 $p_{i}$ 是值 $x_{i}$ 的概率。例如

一个转盘的概率分布为

$x$	1	2	3	4
$P(X=x)$	0.2	0.2	0.5	0.1

E(X) 可以通过将所有值乘以各自的概率进行求和来计算：$(1*0.2)+(2*0.2)+(3*0.5)+(4*0.1)=2.5$

E(X²) 和 E(X)²

有时，您需要计算 E(X²) 和 E(X)²（例如，用于计算离散随机变量的方差）。E(X)² 的值就是您的 E(X) 值的平方。使用上一个示例中的同一个转盘，我们的 E(X)² 值将为 $2.5^{2}=6.25$

然而，E(X²) 则更具挑战性。假设我们使用的是之前在计算 E(X) 和 E(X)² 时相同的转盘。计算 $x^{2}$ 的期望值意味着我们必须对我们所有 $x$ 值（即转盘可以停下来的值）进行平方。这给了我们概率分布

$x^{2}$	1	4	9	16
$P(X^{2}=x^{2})$	0.2	0.2	0.5	0.1

从这里，我们可以像计算 E(X) 一样计算我们的 E(X²) 值

$(1*0.2)+(4*0.2)+(9*0.5)+(16*0.1)=7.1$

请注意，我们的 E(X²) 和 E(X)² 值不相等！

E(kX) 和 E(X + k) 的期望值，其中 k 是一个数字

要计算 E(kX) 的值，我们需要将 k 的值移到括号外面。这样我们就得到了 kE(X)。现在可以正常计算 E(X)，然后乘以 k 的值。对于我们的转盘示例，E(2X) 的值为 2E(X)，其中 E(X) = 2.5。因此，E(2X) 的值为 5。

要计算 E(X + k) 的值，我们需要再次将 k 的值移到括号外面。我们得到了 E(X) + k，可以正常计算该值。对于我们的转盘示例，E(X + 3) 的值为 E(X) + 3，即 5.5。

方差

离散随机变量的方差定义为平方期望值的期望值减去期望值的平方，或者换句话说：$Var(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$。依次，离散随机变量的标准差（σ - 小写希腊字母 sigma）定义为方差的平方根，或者：${\sqrt {Var(X)}}$

对于我们的转盘示例，我们计算出的 E(X²) 的值为 7.1，而 E(X)² 的值为 6.25。因此，该转盘的方差值为：$Var(X)=7.1-6.25=0.85$

该转盘的标准差值为：${\sqrt {0.85}}=0.9219544457=0.9220(4.sf)$