A-level 数学/Edexcel/核心 1/代数

数学围绕着代数，所以对此有足够的了解是必不可少的。你应该从你的 GCSE 课程中认识到大部分内容，但重要的是要确保你理解这一点。

纯数学 1，模块 1，代数

合并同类项

相同未知数的多个项可以合并在一起，使它们更容易处理，例如，$6x+2x=8x$，类似地，减法也是一样的，$5y-3y$ 等同于 $2y$。

指数法则

1. $x^{a}\times x^{b}=x^{a+b}$。

For example, $x^{3}\times x^{2}$. This is the same as $(x\times x\times x)\times (x\times x)$. Or $x\times x\times x\times x\times x=x^{5}=x^{3+2}$

2. $x^{a}\div x^{b}=x^{a-b}$。

For example, $x^{5}\div x^{3}$, expands to ${\frac {x\times x\times x\times x\times x}{x\times x\times x}}$. Three of the $x$'s on the top line cancel out, leaving us with $x\times x=x^{2}=x^{5-3}$

3. $(x^{a})^{b}=x^{a\times b}$

For example, $(4^{2})^{3}=(4\times 4)\times (4\times 4)\times (4\times 4)$ or $4^{6}$

4. $x^{0}=1$ 其中 $x\neq 0$

For example, $5^{0}\times 6=1\times 6=6$

5. $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}$

For example, $8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8}}^{2}=2^{2}=4.$

根式运算

根式是一个无理数，这意味着它不能用小数或分数形式精确表示，例如 ${\sqrt {2}}$，使用根式形式表示数字是因为以其他任何方式写会降低精度，而在数学中需要精确值。C1 需要两个根式运算规则

1. ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$

For example, ${\sqrt {16\times 25}}=20={\sqrt {16}}\times {\sqrt {25}}$.

2. ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

For example,  ${\sqrt {\frac {5}{4}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}$

有时，根式可能需要表示为 $x{\sqrt {y}}$，这可以通过找到一个平方数（例如 4 或 9）来实现，该平方数乘以根式，然后可以将该平方数从平方根中取出并放在前面。

For example,  ${\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}={\sqrt {9}}{\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}$

二次函数

图像

二次方程的一般形式是 $\textstyle y=f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$，其中 *a*、*b* 和 *c* 是常数。

可以通过简单地取 *x* 的值并使用给定的图像方程计算 *y* 的值来绘制图像。然后，可以将这些值绘制在图像上。

例如，$\textstyle y=x^{2}-3x-4$，然后取 *x* 在 -2 到 +5 之间，得到

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5
y = x2-3x-4	6	0	-4	-6	-6	-4	0	6

方程和不等式

联立方程

联立方程是两个或多个方程，您必须找到满足这两个方程的未知数的值。你需要了解两种方法来解决它们。

消元法

消元法包括将两个方程“减去”或“加在一起”以消去两个未知数中的一个。以下是一个例子

${\begin{array}{lcl}5x+4y&=&33\\6x-4y&=&22\end{array}}$

在这种情况下，将两个方程加在一起将消去 *y*。

${\begin{array}{lclc}&5x+4y&=&33\\+&6x-4y&=&22\\\Rightarrow &11x+0y&=&55\end{array}}$

然后我们可以解出$11x=55$，得到$x=5$。然后，将这个 x 值代入原始方程之一，可以求出 y 的值。

${\begin{array}{l}5x+4y=33\\25+4y=33\\4y=8\\y=2\end{array}}$

有时，你可能需要改变其中一个方程才能使用消元法。看看下面的两个方程

${\begin{array}{lcl}3x+4y&=&14\\5x+8y&=&24\end{array}}$

目前无法消去任何一个未知数，但将第一个方程的整个式子乘以 2，就可以消去一个方程减去另一个方程。

${\begin{array}{lclc}&6x+8y&=&28\\-&5x+8y&=&24\\\Rightarrow &1x+0y&=&4\end{array}}$

然后，将这个值代入原始方程之一，可以求出 y

${\begin{array}{l}5x+8y=24\\20+8y=24\\8y=4\\y={\frac {1}{2}}\end{array}}$

不等式

线性

不等式可以像方程一样进行操作，但有一条额外的规则：当乘以或除以负数时，大于/小于号必须互换。

For example:

${\begin{aligned}-6x+3&>-9\\-6x&>-12\\x&<2\end{aligned}}$

二次方程

临界值

对于不等式$ax^{2}+bx+x<0$，考虑相应的方程$ax^{2}+bx+c=0$。解出 x 的值；得到的两个 x 值被称为临界值，它们表示不等式解的边界。例如

$\displaystyle x^{2}-2x-3=0$

$\displaystyle (x+1)(x-3)=0$

$\displaystyle x=-1$ 或者 $\displaystyle x=3$.

因此，临界值为 -1 和 3。

在上面的例子中，解是 $-1<x<3$ 或 $x<-1;x>3$。要确定哪一个是正确的，将任何值（除临界值外）代入原始不等式，然后查看不等式是否成立，如果成立，则你代入的值就在解集中。

从上面的例子继续，令 $x=0$.

$0-0-3<0$

这表明 0 是一个解，并且它位于 $-1<x<3$ 中，因此 $-1<x<3$ 是解。