A-level 数学/Edexcel/核心 1/积分

积分基础

积分是微分的逆运算。对于 x 的幂，您需要将幂加 1，除以新的幂，然后加上积分常数 c。请注意，当 x 的幂为 -1 时，此规则将不起作用，这需要更高级的方法。积分常数是必需的，因为如果一个常数（即没有 x 的数字）被微分，它将变为零，而仅仅通过积分无法确定该常数的值。

例如

$\int 2x\,\,dx$

变为

$\displaystyle y=x^{2}+c$

积分分数

分母中带有 x 项的分数不能直接积分；x 项必须被移到运算行。这可以通过指数定律轻松完成。

例如

$\int {\frac {2}{x^{2}}}\,\,dx=\int 2x^{-2}\,\,dx$

确定常数 c 的值

您可能会被给定曲线上的一点，并要求确定积分常数 c 的值。这很简单，因为该点被给出为 $(x,y)$；x 和 y 的值可以代入并求解 c。

实例

曲线 c 的斜率由 ${\frac {dy}{dx}}=2x$ 给出。

点 $(3,12)$ 位于 c 上。因此，求 c 的方程。

$y=\int 2x\,\,dx$

$y=x^{2}+c$

代入 x = 3，y = 12 的值。

$12=3^{2}+c$

$12-9=c$

$3=c$

$y=x^{2}+3$