A-level 数学/MEI/C1/坐标几何

坐标是描述位置的一种方法。在二维空间中，位置由两个垂直方向给出，即 *x* 和 *y*。

直线

直线具有固定的斜率。直线的斜率和 y 轴截距是区分一条直线与另一条直线的两个主要信息。

直线方程

直线的最常见形式是 $y=mx+c$。m 是直线的斜率，c 是直线与 y 轴的交点。当 c 为 0 时，直线经过原点。

方程的其他形式是 $x=a$，用于斜率为无穷大的垂直线，$y=b$，用于斜率为 0 的水平线，以及 $px+qy+r=0$，它通常用于某些直线，作为更简洁的方程写法。

求直线方程

您可能需要求直线方程，并且只给出了直线上一点的坐标和直线的斜率。这个点可以看作 $({x_{1}},{y_{1}})$，坐标和斜率可以代入公式 $y-{y_{1}}=m(x-{x_{1}})$。然后只需要将公式重新整理成 $y=mx+c$ 的形式。

您可能只给出了两点，$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 $({x_{2}},{y_{2}})$。在这种情况下，使用公式 $m={\frac {{y_{2}}-{y_{1}}}{{x_{2}}-{x_{1}}}}$ 来求斜率，然后使用上面的方法。

直线斜率

直线的陡峭程度可以用其斜率来衡量，斜率是 *y* 方向的增量除以 *x* 方向的增量。字母 *m* 用于表示斜率。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

平行线和垂直线

通过两条直线的斜率，我们可以判断它们是平行、垂直还是既不平行也不垂直。两条直线平行，当且仅当它们的斜率相等， $m_{1}=m_{2}$。两条直线垂直，当且仅当它们的斜率乘积为 -1， $m_{1}\times m_{2}=-1$

两点间的距离

使用两点的坐标，可以通过勾股定理计算它们之间的距离。

任何两点 A$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 B$({x_{2}},{y_{2}})$ 之间的距离由以下公式给出 ${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

直线的中间点

当两点的坐标已知时，中点是这两个点之间一半的位置。对于任何两点 A$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 B$({x_{2}},{y_{2}})$，AB 的中点的坐标可以通过以下公式求得 $\left({\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},{\frac {{y_{1}}+{y_{2}}}{2}}\right)$.

直线的交点

任何两条直线都会相交于一点，除非它们平行。你可以通过求解两个方程组来找到交点。直线会在一个不同的点相交（如果方程组有解）或者根本不会相交（如果它们平行）。然而，曲线可以与直线或另一条曲线相交于多个点。

曲线

要绘制一条曲线的图形，你只需要知道曲线的总体形状以及其他重要的信息，例如 x 和 y 轴的截距以及任何最大值和最小值的点。

形式为 $y=x^{n}$ 的曲线

以下是曲线 $y=x^{1}$，$y=x^{2}$，$y=x^{3}$ 和 $y=x^{4}$ 的图像。

(需要稍后绘制这些图形，只需为每条曲线绘制简单的黑白曲线草图)

注意 $x$ 的奇次幂曲线都具有相同的总体形状，从左下角移动到右上角，以及 $x$ 的偶次幂曲线都具有相同的“桶形”曲线。

形式为 $y={\frac {1}{x^{n}}}$ 的曲线

就像之前一样，$x$ 的偶次幂曲线都具有相同的总体形状，而 $x$ 的奇次幂曲线也具有相同的总体形状。

(此处为图像)

所有这种形式的曲线都没有 $x=0$ 的值，因为 ${\frac {1}{0}}$ 是未定义的。在 $x$ 轴和 $y$ 轴上都有渐近线，曲线会越来越慢地向其靠近，但永远不会真正触碰。

直线和曲线的交点

当一条直线与一条曲线相交时，可以通过将直线的方程代入曲线的方程来找到交点。如果直线形式为 $y=mx+c$，那么您可以将所有 $y$ 替换为 $mx+c$，然后展开方程，然后因式分解结果的二次方程。

曲线的交点

可以使用与直线和曲线相同的方法。但是，它仅适用于简单情况。当代数方法失败时，您将需要求助于图形方法或数值方法。在考试中，您只需要使用代数方法。

圆

圆被定义为所有与单个点距离固定的点的轨迹。单个点是圆的圆心，固定距离是它的半径。这个定义是圆方程的基础。

圆的方程

圆的方程为 ${x^{2}}+{y^{2}}=r^{2}$，其中圆心为 (0,0)，半径为 r，以及 ${(x-a)^{2}}+{(y-b)^{2}}=r^{2}$，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。

例如，方程为 ${(x+2)^{2}}+{(y-3)^{2}}=25$ 的圆的圆心为 (-2,3)，半径为 5。

圆几何

在解决问题时，一开始可能看起来没有给你足够的的信息。然而，有一些事实可以帮助你发现与圆相关的直角。

• 半圆中的角是直角
• 从圆心到弦的垂线平分弦
• 圆上一点的切线与过该点的半径垂直