∫ f ( u ) d u d x d x = ∫ f ( u ) d u {\displaystyle \int f(u){\frac {du}{dx}}dx=\int f(u)du}
∫ u d v d x d x = v u − ∫ v d u d x d x {\displaystyle \int u{\frac {dv}{dx}}dx=vu-\int v{\frac {du}{dx}}dx}
当您有两个函数相乘时，例如 ln x 和一个简单的多项式，其中一个函数不是另一个函数的导数，则使用分部积分法。例如
∫ x ln x d x {\displaystyle \int x\ln xdx}
在此表达式中，使用以下代换 u = ln x {\displaystyle u=\ln x} 和 d v d x = x {\displaystyle {\frac {dv}{dx}}=x} . 在几乎所有其他表达式中，多项式被视为 u。代换后，示例中的表达式变为
∫ x ln x d x = ln x ∫ x d x − ∫ x d d x ln x d x {\displaystyle \int x\ln xdx=\ln x\int xdx-\int x{\frac {d}{dx}}\ln xdx}
分别对表达式的各个部分进行积分和微分后，它变为
∫ x ln x d x = 1 2 x 2 ln x − x . {\displaystyle \int x\ln xdx={\frac {1}{2}}x^{2}\ln x-x.}
和 
. 在几乎所有其他表达式中，多项式被视为 u。代换后，示例中的表达式变为
