A-level 数学/MEI/FP2/矩阵

本节旨在扩展在 FP1 中关于矩阵的信息，涉及 3x3 矩阵、特征向量和特征值以及凯莱-哈密顿定理。

3x3 矩阵的行列式

如何求行列式

3x3 矩阵 $M={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$ 的行列式由下式给出
$|M|={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}$

要找到 3x3 矩阵的行列式，需要选择一行或一列作为起点。在上面的例子中，选择了第一列（$a$）。然后选择此列的第一个元素（即 $a_{1}$）并将其乘以其 *余子式*。 $a_{1}$ 的余子式是通过划掉包含 $a_{1}$ 的行和列来得到的，在本例中，得到矩阵 ${\begin{pmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$。*余子式* 是此矩阵的行列式。 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 的余子式分别是 ${\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$ 和 ${\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}$。为了确定扩展项之前的符号，使用以下矩阵：${\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}}$。余子式及其对应的符号被称为 *代数余子式*。 $a_{1}\,$ 的代数余子式可以写成 $A_{1}\,$。

因此，如果您选择第二列（$b\,$），则行列式将通过以下方式求得：
${\displaystyle |M|={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&$

示例

求矩阵 $M\,$ 的行列式，其中 $M={\begin{pmatrix}5&7&2\\1&9&4\\2&6&3\end{pmatrix}}$

解：- $|M|={\begin{vmatrix}5&7&2\\1&9&4\\2&6&3\end{vmatrix}}=$ $5{\begin{vmatrix}9&4\\6&3\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}7&2\\6&3\end{vmatrix}}+2{\begin{vmatrix}7&2\\9&4\end{vmatrix}}=$
$5(9\times 3-6\times 4)-1(7\times 3-6\times 2)+2(7\times 4-9\times 2)=\,$
$5(27-24)-1(21-12)+2(28-18)=\,$
$15-9+20=\,$
${\underline {26}}$

或者，也可以使用萨吕斯方法来求解 3x3 矩阵的行列式。请注意，萨吕斯方法不适用于更高维矩阵（例如 4x4 矩阵）。

3x3 矩阵的逆矩阵

3x3 矩阵的逆矩阵的求解方法与 2x2 矩阵相似。回顾一下，2x2 矩阵 $M={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$ 的逆矩阵可以通过以下方式求解
$\mathbf {M} ^{-1}={1 \over det\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

可以证明（使用行列式的性质）${\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|\mathbf {M} |&0&0\\0&|\mathbf {M} |&0\\0&0&|\mathbf {M} |\end{pmatrix}}$
因此，通过提出 |M|，${1 \over |\mathbf {M} |}{\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
这表明 ${1 \over |\mathbf {M} |}{\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}$ 是 $M\,$ 的逆矩阵。矩阵 ${\begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{pmatrix}}$ 被称为 **伴随** 或 **伴随** 矩阵 **M**。它是通过用相应的余因子替换矩阵的每个元素，然后转置（将矩阵的行与列互换）矩阵得到的。

特征向量和特征值

考虑一个通过矩阵实现的变换——为了便于说明，一个比例因子为 2 的放大变换。如果我们考虑穿过原点的直线，在进行变换后，每条穿过原点的直线上的每个点都会映射到其直线上的另一个点，但原点映射到自身。我们可以说，如果 $\mathbf {M}$ 是负责该变换的矩阵，而 $\mathbf {s}$ 是直线上的“点”（以列向量的形式——即 1x2 矩阵的形式），那么 $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$；在比例因子为 2 的示例中，$\lambda$ 将为 2。每个经过矩阵的点都将变成它自身的倍数；该倍数将为 2。

我们可以进一步将这种情况推广到超越简单放大的情况。正式地，我们可以说，如果 $\mathbf {s}$ 是一个非零向量，使得 $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$，其中 $\mathbf {M}$ 是一个矩阵，而 $\lambda$ 是一个标量，那么 $\mathbf {s}$ 被称为 $\mathbf {M}$ 的 特征向量。标量 $\lambda$ 被称为 特征值。

让我们用一个例子来解释这一点

由于

${\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}}=5{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

并且

${\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

必须是 ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ 分别是矩阵 $\mathbf {M} ={\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}}$ 的特征向量，分别对应特征值 5 和 2。很快就会发现，它们是唯一 的两个特征值。

请注意，这两个特征向量的所有非零标量倍数也是 $\mathbf {M}$ 的特征向量，并且具有相同的特征值。同样，在变换下，特征向量被放大了与其特征值相等的比例因子，并且特征向量的方向在变换下保持不变。

在寻找特征向量时，你需要能够解方程 $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$

• $\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$
• $\mathbf {Ms} -\lambda \mathbf {s} =\mathbf {0}$
• $\mathbf {Ms} -\lambda \mathbf {Is} =\mathbf {0}$（此处不需要使用单位矩阵）
• $(\mathbf {M} -\lambda I)\mathbf {s} =\mathbf {0}$（但在这里至关重要！）

显然，$\mathbf {s} =\mathbf {0}$ 始终是解，但没有意义。对于非零解，我们需要${\mbox{det(}}\mathbf {M-I} \lambda {\mbox{)}}=\mathbf {0}$。这个方程称为特征方程，而由此得到的（求行列式得到的）多项式称为特征多项式。

这导致了求特征向量的三个步骤。

1. 建立特征方程${\mbox{det(}}\mathbf {M-I} \lambda {\mbox{)}}=\mathbf {0}$
2. 解特征方程以求得特征值，$\lambda$
3. 对于每个特征值，通过求解$\mathbf {Ms} =\lambda \mathbf {s}$或$(\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {s} =\mathbf {0}$，找到相应的特征向量。

无论 M 的大小如何，这都是正确的。

2x2 和 3x3 矩阵的幂

$\mathbf {M} ^{n}=\mathbf {SA} ^{n}\mathbf {S} ^{-1}$

凯莱-哈密顿定理

"每个方阵M都满足它自己的特征方程。"