近似值

即使我们努力做到尽可能精确，也很难给出某些事物的精确答案。例如，如果你要测量你的身高，由于各种因素，你得到的数值可能与你实际的身高不符；但它与你的实际身高非常接近。例如，最接近的厘米。这个值就是你实际身高的近似值。

以 $e$ 为例，你永远无法精确地写出 $e$ ，因为它是不合理的；它永远不会结束。 $e$ 的前 100 位小数是

2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274

无论这个数字与 $e$ 的实际值有多精确，它仍然是一个近似值。

近似值出现的几个主要原因是

精确测量的困难
四舍五入
简化模型
计算机只能使用有限的小数位数
没有必要再精确了

误差

在撰写本文时，美国运行的“人口时钟”显示美国有 316,356,429 人。但是，许多资料来源会说人口是 300,000,000 人。这意味着这些资料来源正在近似这个值。

为了找到这个近似值的误差，我们执行以下操作

$300000000-316356429=-16356429$ $300000000-316356429=-16356429$

MEI 定义误差为

'当一个精确值 x 被近似为 X 时，误差 ε 由以下公式给出： ε = X - x

注意，如果近似值过大，则误差为正，如果近似值过小，则误差为负。'

简而言之，误差是衡量估计值与实际值之间距离的指标。

除此之外，我们还有绝对误差，它实际上是误差的大小。

MEI 将其定义为

'当一个精确值 x 被近似为 X 时，绝对误差定义为误差的模。

绝对误差 = |ε| = |X - x|'

误差的模意味着它的量级；它有多大。该数字的正值。

虽然了解估计值的误差和绝对误差很好，但很难比较它们。假设我正在比较两种测量技术。一种观察原子的尺寸，另一种观察星系的尺寸。由于星系远大于原子，误差自动会更大，这并非一个公平的比较。此时，我们使用相对误差。

MEI 将相对误差定义为

'一个有用的误差度量是相对误差。 它定义为：

${\text{relative error}}={\frac {\text{error}}{\text{exact value}}}={\frac {\epsilon }{x}}$ '

相对误差衡量的是误差与精确值的比率，使其更好地表示所涉及的误差。

与以前一样，我们还有相对误差的不同版本；绝对相对误差

MEI 将其定义为

'当一个精确值 x 被近似为 X 时，绝对相对误差是相对误差的模，定义为：

${\text{absolute relative error}}=\left|{\frac {\text{error}}{\text{exact value}}}\right|=\left|{\frac {\epsilon }{x}}\right|=\left|{\frac {X-x}{x}}\right|$

同样，它是误差与精确值的比率，但这次值始终为正。

四舍五入和区间估计

四舍五入

四舍五入是简化数字的一种方法，在这种方法中，数字的完整值并不必要。

通常，数字会四舍五入到一定的小数位数或有效数字。新的四舍五入后的值现在是原始值的近似值。

如果 x 是我们要舍入到的位数，那么当我们舍入到 x 位小数时，这意味着我们在小数点后舍入 x 位。如果我们舍入到 x 位有效数字，我们将在第一个非零项后舍入 x 位。

例子

1. '将 48.7564 舍入到小数点后两位'

解答

查看第三位小数，它大于 5。这意味着我们将向上舍入。

⇒ =48.76

2. '将 690354.23 舍入到 4 位有效数字'

解答

查看第五位数字。它小于 5，所以我们向下舍入。

⇒ =690300

通常，我们会在数字后面写上数字舍入到的有效数字 (s.f) 位数，就像我们最后一个例子一样，690300 可以是 4 位有效数字、5 位有效数字或精确值。我们的应该是 =690300(舍入到 4 位有效数字)

区间估计

考虑以下语句："y 的值精确到小数点后一位是 2.5"。这意味着如果你将 y 四舍五入到小数点后一位，你将得到 2.5。这意味着 y 可以是任何四舍五入到小数点后一位为 2.5 的值。

为了克服这个问题，我们需要考虑 y 能取到的最小值和最大值，以便它四舍五入到 2.5。这些数字分别是 2.45 和 2.55。因此，我们的值 y 介于 2.45 和 2.55 之间。我们可以这样写：

2.45 ≤ y < 2.55

这意味着 y 大于或等于 2.45，但小于 2.55。它不能等于 2.55，因为这将四舍五入到 2.6，但是 2.549999999999999... 将四舍五入到 2.5，这实际上是 2.55。

这是一个区间估计的例子。它也可以这样写： [2.45, 2.55)，其中方括号表示包含该数字，圆括号表示不包含该数字。在这种情况下，2.45 被称为该数字的下界，2.55 被称为上界。

任何一个数字 x 的值介于两个数字之间的语句都称为 x 的区间估计。

MEI 的说法如下：

"**当已知一个精确值 x 介于两个值 a 和 b 之间时，x 就存在一个区间估计。**"

它可以采用以下形式之一：

a < x < b， a < x ≤ b， a ≤ x < b， a ≤ x ≤ b。

"**a 被称为 x 的下界，b 被称为 x 的上界。**"

也可以从它的区间估计中获得一个值的近似值；例如：

在区间 1.13 ≤ x < 1.141 中，我们想找到精确到尽可能多的小数位的 x。我们可以看到这两个数字都四舍五入到小数点后一位为 1.1。这是我们能获得的与其实际值最接近的值，因为精确到小数点后两位，它可以是 1.13 或 1.14。

现在，在区间估计 7.8 ≤ x < 8 中，我们想找到 x 值的最佳近似值。这意味着该值的绝对误差将尽可能小。如果我们取 7.8 和 8 的中点，我们会发现 7.9 是中点。它正好离这两个数字 0.1，这意味着我们对 x 的最佳估计是 7.9，最大绝对误差为 0.1。

待办事项
内容几乎完成，但将来需要重写。将来将添加更多示例和问题。~ollz272