A-level 数学/MEI/NM/积分

进行定积分可以看作是在图上找到曲线下的面积。您可能在其他地方遇到过用将复杂形状分解成易于计算面积的简单形状来找到复杂形状面积的想法。我们在数值积分中使用类似的技术——我们用一系列简单形状来近似曲线，并将这些形状的面积加起来得到积分的值。

中点规则

中点规则的插图。

此方法使用矩形来近似曲线。每个矩形的高度由矩形中间的函数值给出，所有矩形具有相同的宽度。

我们将要积分的区间 [a, b] 分成 n 个等宽的条带。然后每个条带的宽度为 h = (b - a)/n。

我们将 a 处的 x 值写为 x₀，第一个矩形的末端为 x₁，第二个矩形的末端为 x₂，等等。x_r 是 r 个条带右侧的 x 值，因此 x_r = a + r * h。

还要注意，在 x₀ 处计算的 f(x) 可以写成 f₀，在 x₁ 处计算的 f(x) 可以写成 f₁，等等。在 x_r 处计算的 f(x) 的值为 f_r。

每个近似矩形的面积是 h 乘以在矩形中间计算的 f(x)。按照上述符号，在第一条带的中间计算的 f(x) 的值为 f_0.5，因此第一条带的近似矩形的面积为 h f_0.5。

因此，对于 n 个条带，总面积为

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h(f_{0.5}+f_{1.5}+\ldots +f_{n-1.5}+f_{n-0.5})$