A-level 数学/OCR/C4/高级微分

在 Core 4 中，我们将讨论三角函数的导数、隐函数微分和参数微分。

三角函数的导数

为了找到所有六个三角函数的导数，你只需要知道正弦和余弦函数的导数。需要注意的是，在处理导数时，你的角度需要用弧度表示。

如果 $y=\sin kx,\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=k\cos kx$.

如果 $y=\cos kx,\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=-k\sin kx$.

如果 $y=\tan kx,\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=k\sec ^{2}kx$.

如果 $y=\operatorname {cosec} \ kx,\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=-k\operatorname {cosec} \ kx\cot kx$.

如果 $y=\sec kx,\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=k\tan kx\sec kx$.

如果 $y=\cot kx,\,$ 那么 ${\frac {dy}{dx}}=-k\operatorname {cosec} ^{2}\ kx$.

隐函数微分

在 C3 中，我们学习了如何微分形如 y=f(x) 的显式方程，直接获得 dy/dx 的结果，也是 x 的函数。在 C4 中，虽然仍然使用这些技术，但你需要知道如何微分隐式函数。也就是说，微分方程 f(x,y)=g(x,y) 的两边。

在隐函数求导中，所有正常的求导规则都适用，但是当求y关于x的导数时，由于链式法则，结果必须包含一个额外的dy/dx项。

${\frac {d}{dx}}(f(y))=f'(y)\cdot {\frac {dy}{dx}}$

因此，像熟悉的“乘以幂，降低幂”这样的规则在本质上仍然适用，尽管必须包含dy/dx。当隐式求导时，仍然需要依次对每个项进行求导。例如，一道题目可能会要求你对以下等式的两边关于x求导

$\sec(y)+x^{2}=3x+2y+1\;$

对每个项关于x求导，我们得到

$\sec(y)tan(y)\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x=3+2\cdot {\frac {dy}{dx}}$

一般来说，题目会要求一个关于x和y的函数，该函数给出某个特定点的梯度。因此，我们需要重新排列dy/dx的表达式。

$\sec(y)tan(y)\cdot {\frac {dy}{dx}}-2\cdot {\frac {dy}{dx}}=3-2x$

${\frac {dy}{dx}}(\sec(y)tan(y)-2)=3-2x$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {3-2x}{sec(y)tan(y)-2}}$

从这一点开始，你可能需要代入x和y的值才能计算曲线上的特定位置的dy/dx的值。如果需要的是值，而不是表达式，可以在重新排列之前进行代入（以帮助因式分解）。在某些情况下，题目可能会要求你找到满足特定dy/dx值的曲线上点的坐标。在这种情况下，你需要找到微分方程满足的x值，或者一个将x和y联系起来的方程，然后将它代入曲线的原始方程。这通常会导致多个点满足给定的条件。

以（作为简单的例子）曲线

$x^{3}+y^{3}=5x\;$

为例，我们被一些任意的问题要求找到dy/dx=0的点。

虽然我们可以很容易地重新排列它以得到一个显式函数，但为了演示，我们将使用隐函数求导。关于x求导得到

$3x^{2}+3y^{2}{\frac {dy}{dx}}=5$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {5-3x^{2}}{3y^{2}}}=0$

$5-3x^{2}=0\;$

$x=\pm {\sqrt {\frac {5}{3}}}\;$

因此，我们只需将该值代入原始隐式方程，并求解 y（两次）。在某些情况下，您可能会发现 x 是 y 的函数（根据给定的条件），而不仅仅是一个值。在这种情况下，只需求解一对联立方程即可。

那么“xy”这个项呢？好吧，我们只需应用乘积法则

$(uv)'=vu'+uv'\;$其中 u 和 v 在这种情况下是 x 或 y 的函数。

$(xy)'=y\cdot 1+x\cdot {\frac {dy}{dx}}$

同样

$(x^{2}y)'=y\cdot 2x+x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}$

相关变化率和微分方程

在这个相当有趣的主题中，您将研究变化率如何相互影响，以及如何在给定情境描述的情况下编写微分方程。同样，C4 只是找到了一种使原本简单的过程变得复杂的方法——主要困难不在于数学本身。在于将一段话转换成一行。通常，问题需要了解在微分中使用链式法则。

对于 C4，我们主要感兴趣的是

• 漏水箱
• 污渍或其他圆形形状

让我们想象这样一个场景：有一个体积为 V 的水箱。它的内容物以与水箱内包含的量成正比的速度泄漏。因此，我们可以将其写成

${\frac {dV}{dt}}=-kV$

负号表示水箱正在泄漏。接下来，让我们说除了这个，还有一个强制性水龙头以 5 $m^{3}t^{-1}$ 的恒定速率向水箱供水。

${\frac {dV}{dt}}=5-kV$

那么，高度相对于时间的变化率是多少？首先，我们需要检查将高度与体积联系起来的方程。假设水箱是横截面均匀的圆柱体，我们可以说

$V=\pi r^{2}h\;$，其中 r 是水箱在任何点的半径，h 是包含的体积的高度。

对 h 求导，得到

${\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}$

${\frac {dh}{dV}}={\frac {1}{\pi r^{2}}}$

因此

${\frac {dh}{dt}}={\frac {dh}{dV}}\cdot {\frac {dV}{dt}}={\frac {1}{\pi r^{2}}}(5-kV)$

其中 k 是比例常数，通常由边界条件确定。

参数微分

在参数几何中，微分按正常方式进行。可以将曲线转换为笛卡尔形式，也可以使用链式法则的结果来求解 dy/dx

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\div {\frac {dx}{dt}}$