A 水平数学/OCR/C4/高级积分

涉及线性替换的积分

用线性替换积分函数与反向执行链式法则相同。在核心四中，我们将核心三中学习的知识形式化。然而，我们在核心三中学习的过程在核心四中也是相同的。为了积分函数 $\int f^{'}[g(x)].g^{'}(x)\,dx=f[g(x)]+c$.

示例

积分 12cos(12x + 9).

1. g(x) = 12x + 9 且 ${\frac {dg(x)}{dx}}=12$
2. sin(12x+9) + C

分部积分法

分部积分法并没有像替换法那样真正解决问题，而是将函数转换为（希望）更容易积分的函数，无论是通过替换还是其他方式。

考虑乘积法则

${\frac {dy}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

积分这个规则得到

$\int {\frac {dy}{dx}}\,dx=\int v{\frac {du}{dx}}\,dx+\int u{\frac {dv}{dx}}\,dx$

$\Rightarrow \int {\frac {dy}{dx}}\,dx-\int v{\frac {du}{dx}}\,dx=\int u{\frac {dv}{dx}}\,dx$

$\Rightarrow \int u{\frac {dv}{dx}}\,dx=uv-\int v{\frac {du}{dx}}\,dx$

我们需要积分的函数现在已经从 $u{\tfrac {dv}{dx}}$ 变为 $v{\tfrac {du}{dx}}$

示例

积分 $xe^{x}$ 关于 $x$

1. $u=x\Rightarrow {\tfrac {du}{dx}}=1$
2. ${\tfrac {dv}{dx}}=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}$
3. $\int xe^{x}\,dx=xe^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx$
4. $=xe^{x}-e^{x}+c\,\!$
5. $=(x-1)e^{x}+c\,\!$

另一个更复杂的例子

对 $x^{2}e^{x}$ 关于 $x$ 进行积分

1. $u=x^{2}\Rightarrow {\frac {du}{dx}}=2x$
2. ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}$
3. $\int x^{2}e^{x}\,dx=x^{2}e^{x}-\int 2x\cdot e^{x}\,dx$
4. 现在我们可以再次对 $\int 2x\cdot e^{x}\,dx$ 使用分部积分法
5. $u=2x\Rightarrow {\frac {du}{dx}}=2$
6. ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}\Rightarrow v=e^{x}$
7. $x^{2}e^{x}-\int 2x\cdot e^{x}\,dx=x^{2}e^{x}-(2xe^{x}-\int 2e^{x}\,dx)$
8. $=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c\,\!$
9. $=e^{x}(x^{2}-2x+2)+c\,\!$