A-level 数学/OCR/FP2/数值方法

牛顿-拉夫森法

找到函数根的最佳方法是使用牛顿-拉夫森法；该方法使用一系列切线来估计根的值。该序列的第一个数字是从先前方法中的一个或半随机选择。当 $x_{n}=x_{n+1}$ 到特定位数时，我们可以找到函数的值到一定程度。该方法可能并不总是有效，因为如果 f'(x) = 0，则该函数在此点将未定义，该函数将发散。

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}}$

示例

我们上面的图实际上是牛顿用来演示该理论的同一个函数。求该根的值，精确到小数点后六位。我们将使用 2.05 作为第一个值。

$f'(x)=3x^{2}-2$

$x_{2}=2.05-{\frac {(2.05)^{3}-2(2.05)-5}{3(2.05)^{2}-2}}=2.095710$

现在我们使用这个输出作为下一个输入，依此类推。

$x_{2}=2.095710-{\frac {(2.095710)^{3}-2(2.095710)-5}{3(2.095710)^{2}-2}}=2.094552$

$x_{3}=2.094552-{\frac {(2.094552)^{3}-2(2.094552)-5}{3(2.094552)^{2}-2}}=2.094551$

$x_{4}=2.094552-{\frac {(2.094552)^{3}-2(2.094552)-5}{3(2.094552)^{2}-2}}=2.094551$

该根约为 2.094551。如果我们将它代入原始函数，我们得到 -.00000000000004，它非常接近于零。