A 级数学/OCR/M1/直线运动的运动学

运动学介绍

运动学是研究物体的运动，但不研究产生运动的方式。研究球体通过抛物线轨迹的运动属于运动学。研究球体是如何被抛出的属于力学。运动学是物理学中最有用的部分之一，它有着广泛的应用。事实上，许多动力学都使用运动学关系。

当我们考虑物体速度时，我们不讨论方向。以 20 m/s 的速度向上抛出的球与以相同速度向任何其他方向抛出的球等效。然而，这些运动是截然不同的，重力将对球产生不同的作用。因此，物体运动的完整讨论取决于方向和速度。我们结合起来得到一个向量量，称为速度，用 ${\vec {v}}$ 表示。

然后，解释它们的对等物：速度和位移（使用图表），并表明它们是向量量（在 1 维中提供示例）。

匀加速运动

解释匀加速运动以及我们为什么通过假设它是恒定的来简化问题，并展示如何解决一些涉及匀加速运动的问题

在 1 维中匀加速运动的物体，其运动学量由 SUVAT 方程控制。S 是位移，U 是起始速度，V 是最终速度，A 是加速度，T 是时间。知道其中的三个量就可以找到另外两个量。方程如下

$v=u+at$

$s=ut+{\frac {1}{2}}a{t}^{2}$

$s=vt-{\frac {1}{2}}a{t}^{2}$

$s={\frac {u+v}{2}}t$

${v}^{2}={u}^{2}+2as$

例如，从 2 米高的悬崖上掉落的粒子在重力作用下加速，有 $u=0{\text{ ms}}^{-1}$，$a=-9.8{\text{ ms}}^{-2}$，和 $s=2{\text{ m}}$。如果你想找到下降所需的时间，你需要将这些值代入 $s=ut+{\frac {1}{2}}a{t}^{2}$ 并求解 t。

运动学量之间的关系

显示 (t,x) 和 (t,v) 图，并强调记忆每个图的特征

(i) (t,v) 图下的面积表示位移，

(ii) (t, x) 图的斜率表示速度，

(iii) (t,v) 图的斜率表示加速度；

使用微积分推导运动学量

我们已经看到 (x,t) 图如何显示任何时刻 t 的位置 x。这意味着位置 x 是时间 t 的函数。

位置

由于运动发生在时间中，运动点的位移是时间的函数。沿着 x 轴移动的点的运动可以用位移 x(t) 来描述，该位移是时间 (时刻) t 的函数。以恒定速度在正方向移动的点可以描述为

$x(t)=1+3t$.

从这个等式中我们了解到

$x(0)=1+3\times 0=1$

这意味着运动从时间 t = 0 开始，在点 x = 1 开始。在时刻 t=1 时，点已到达点 x = 4，我们可以通过计算得出

$x(1)=1+3\times 1=4$.

在时刻 t=2 时，点已到达点 x = 7

$x(2)=1+3\times 2=7$.

请注意，在第一个时间单位内：从 t = 0 到 t = 1，点从 x = 1 移动到 x = 4，因此在距离上前进 3 个单位；在第二个时间单位内，从 t = 1 到 t = 2，它从 x = 4 移动到 x = 7，再次前进 3 个单位。它似乎每时间单位在距离上前进 3 个单位，这意味着它以 3 的恒定速度移动。

速度

如果点以恒定速度 t 移动，则该速度可以从它从一个位置移动到另一个位置所花费的时间来计算。如果，如上面的示例，它花费 1 个时间单位移动距离 3，即从 x = 1 到 x = 4，则速度必须为 v = 3/1 = 3。我们可以从它花费 2 个时间单位移动距离 6 的事实来计算这个速度，即从 x = 1 到 x = 7，因此 v = 6/2 = 3。

一般来说，我们通过查看从 t = t₁ 到 t = t₂ 的时间间隔来计算恒定速度的运动速度，在该时间间隔内，点从 x = x(t₁) 移动到 d = x(t₂)，作为移动距离与所花费时间之商

$v={\frac {\mathrm {travelled\;distance} }{\mathrm {required\;time} }}={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}$.

我们通过计算任意时间间隔的速度 v 来验证上面的示例中的速度确实是恒定值 3

$v={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {(1+3t_{2})-(1+3t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {3t_{2}-3t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {3(t_{2}-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=3$.

对于以恒定速度 v 运动的运动，运动方程为

$x(t)=x(0)+vt$.

一般来说，运动不会以恒定速度进行。让我们举一个例子，其中

$x(t)=1+3t+2t^{2}$.

它在 t = 0 时从 x(0) = 1 开始。在 t = 1 时，它到达 x(1) = 1 + 3 + 2 = 6。这段时间间隔内的平均速度，或者说在这个轨迹上的平均速度是

${\overline {v}}={\frac {x(1)-x(0)}{1-0}}={\frac {6-1}{1}}=5$.

但在最后的时间单位内

${\overline {v}}={\frac {x(2)-x(1)}{2-1}}={\frac {(1+6+8)-(1+3+2)}{1}}=9$.

速度增加了。速度也是时间 v(t) 的函数。但时间 t 时刻的（瞬时）速度 v(t) 是什么呢？我们可以通过取一个从 t 到 t + h 的（非常）小的的时间间隔来计算这个速度。然后这段时间间隔内的平均速度大约等于时间 t 时刻的速度。我们通过让时间间隔缩小到零并取极限来获得速度的精确值，这不仅仅是位置 x(t) 的导数

$v(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {x(t+h)-x(t)}{h}}={\frac {d}{dt}}x(t)$.

这里就是最初的作者可以把他们的工作放回页面的地方！

只需要记住保持简单，可能不需要使用第一原理来解释它。只用简单的解释如何从一个到另一个（位移、速度、加速度）以及通过微分或积分如何再返回即可