A-level 物理 (高等物理)/多普勒效应

多普勒效应是指当观察者与波源处于不同的参考系时，波的频率会发生变化。相对于我们来说，如果波源相对于我们运动，我们会观察到这种变化。

所有波都在介质中传播。因此，它们相对于这种介质具有速度 v。它们也相对于它们的源 v_s 具有速度，并且相对于它们被接收的地方 v_r 具有速度。它们被接收的频率 f 与发射频率 f₀ 的关系由以下公式给出：

$f=\left({\frac {v+v_{r}}{v+v_{s}}}\right)f_{0}$

多普勒效应可用于通过比较接收到的波长 λ 与我们预计该类型恒星会发射的波长 λ₀ 来测量恒星远离或朝我们移动的速度。由于光速 c 无论参考介质如何都是恒定的

$c=f\lambda =f_{0}\lambda _{0}$

因此

$f={\frac {c}{\lambda }}$ 和 $f_{0}={\frac {c}{\lambda _{0}}}$

通过代入

${\frac {c}{\lambda }}=\left({\frac {v+v_{r}}{v+v_{s}}}\right){\frac {c}{\lambda _{0}}}$

${\frac {1}{\lambda }}=\left({\frac {v+v_{r}}{v+v_{s}}}\right){\frac {1}{\lambda _{0}}}$

$\lambda ={\frac {\lambda _{0}(v+v_{s})}{v+v_{r}}}$

在这种情况下，v 是光速，所以 v = c。相对于我们来说，我们是静止的，所以 v_r = 0。所以

$\lambda ={\frac {\lambda _{0}(c+v_{s})}{c}}$

${\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {(c+v_{s})}{c}}=1+{\frac {v_{s}}{c}}$

如果我们将多普勒频移引起的波长变化称为 Δλ，我们知道 λ = λ₀ + Δλ。因此

${\frac {\lambda _{0}+\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}=1+{\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}=1+{\frac {v_{s}}{c}}$

所以，你需要知道的重要结果是

${\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {v_{s}}{c}}=z$

这个值被称为恒星的红移，用 z 表示。如果 z 为正，则恒星正在远离我们 - 波长向电磁频谱的“红色”端移动。如果 z 为负，则恒星正在向我们移动。这被称为蓝移。请注意，我们假设 v 远小于 c。否则，狭义相对论将对公式产生重大影响。

问题

1. M31（仙女座星系）以大约 120kms⁻¹ 的速度向我们靠近。它的红移是多少？

2. 来自 M31 的一些光到达我们时，波长为 590 nm。相对于 M31，它的波长是多少？

3. 一些光相对于 M31 的波长为 480 nm。相对于我们，它的波长是多少？

4. 一个类星体以 121.6 nm 的波长发射电磁辐射。如果相对于我们，这个波长红移了 0.2 nm，那么类星体的退行速度是多少？