A-level 物理 (进阶物理)/半衰期

以指数衰减方式衰减的事物的半衰期是指衰减变量的值减半所需的时间。

放射性同位素的半衰期

半衰期最常见的应用是在放射性衰变中。放射性强度由以下公式给出

$A_{t}=A_{0}e^{-\lambda t}$

在 t=t_½ 时，A_t = ½A₀，因此

${\frac {A_{0}}{2}}=A_{0}e^{-\lambda t_{\frac {1}{2}}}={\frac {A_{0}}{e^{\lambda t_{\frac {1}{2}}}}}$

$2=e^{\lambda t_{\frac {1}{2}}}$

$\ln {2}=\lambda t_{\frac {1}{2}}$

因此

$t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln {2}}{\lambda }}$

需要注意的是，半衰期与衰减变量完全无关。在半衰期结束时，所有衰减变量都会减半。这也意味着，您可以从衰减过程中的任何一点开始，使用任何衰减变量的值，从该时间开始该变量的值减半所需的时间将是半衰期。

电容器的半衰期

您也可以使用此公式来表示其他形式的衰减，只需将衰减常数 λ 替换为指数关系中 t 前面的常数即可。因此，对于电容器的电荷，由以下关系给出

$Q_{t}=Q_{0}e^{\frac {-t}{RC}}$

所以，代入

$\lambda ={\frac {1}{RC}}$

因此，电容器的半衰期由以下公式给出

$t_{\frac {1}{2}}=RC\ln {2}$

电容器的时间常数

但是，在处理电容器时，更常见的是使用时间常数，通常用 τ 表示，其中

$\tau =RC={\frac {t_{\frac {1}{2}}}{\ln {2}}}$

在 t = τ 时

$Q_{t}=Q_{0}e^{\frac {-RC}{RC}}={\frac {Q_{0}}{e}}$

因此，电容器的时间常数可以定义为电容器的电荷、电流或电压衰减到初始电荷、电流或电压的 e 的倒数 (36.8%) 所需的时间。

问题

1. 氡-222 的衰减常数为 2.1μs⁻¹。它的半衰期是多少？

2. 铀-238 的半衰期为 45 亿年。5 克 U-238 样本衰变到只剩下 1.25 克 U-238 需要多长时间？

3. 需要多长时间才能衰变到只剩下 0.5 克 U-238？

4. 氚（氢的放射性同位素）衰变为氦-3。1 年后，剩余 94.5%。氚 (H-3) 的半衰期是多少？

5. 一个大型电容器的电容为 0.5F。它与一个 5Ω 电阻串联，并包含 5C 电荷。它的时间常数是多少？

6. 电容器中的电荷需要多长时间才能达到 0.677C？ ( $0.677={\frac {5}{e^{2}}}$)

解答