GRE 指南/排列组合

texvc

排列组合

排列是一种顺序重要的排列方式。在这种情况下，元素可能排列的数量为（位置 1 的可能性）（位置 2 的可能性）... 这可以用以下公式表示：

$P(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!}}$ .

组合是一种顺序不重要的排列方式。组合公式与排列公式相同，只是所有项都除以 $k!$ ，即位置阶乘

$C(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$ .

假设凯瑟琳要打包去度假，从她的 27 件扎染衬衫中挑选 3 件带上。她可以带多少种衬衫组合？这个问题中顺序不重要——选择第 3 件衬衫、第 5 件衬衫和第 7 件衬衫与选择第 7 件衬衫、第 3 件衬衫和第 5 件衬衫相同。因此，数量为

$C(n,k)=C(27,3)={\frac {27!}{24!3!}}={\frac {27!}{6(24!)}}={\frac {27\cdot 26\cdot 25}{6}}=2,925$

因此，有 2,925 种可能的衬衫排列方式。

如果上面的顺序很重要——假设凯瑟琳在接下来的三天分别选择一件特定衬衫——公式将不会除以 3!。它将仅仅是 (位置 1)(位置 2)(位置 3)，即 (27)(26)(25)，结果将是 17,550 种可能性。

请注意，可能性的数量递减 (27, 26, 25)，因为衬衫不能重复使用。如果凯瑟琳选择扎染衬衫来穿着接下来的三个星期一，并且有机会洗涤重复使用同一件衬衫，公式将是 (27)(27)(27)。

1. 一家比萨店有 8 种不同的配料可选。可以制作多少种不同的 3 种配料的比萨？

2. 李有 4 种不同的颜色用来给他的模型飞机涂漆。他将在机身上涂一种颜色，在尾舵上涂另一种颜色，在机头上涂另一种颜色。李可以给他的飞机涂多少种不同的颜色？

3. 一道汤的食谱需要 6 种草药中的任意 3 种。可以放进汤里的 3 种草药组合有多少种？

1. 56

在任何排列问题上，要问两个问题——顺序重要吗？元素可以重复使用吗？

顺序不重要——意大利香肠、香肠和橄榄与橄榄、香肠和意大利香肠是一样的。元素不能重复使用——比萨不能有香肠、香肠和香肠作为配料。它要么有香肠，要么没有。因此，公式为

== 56

2. 64

顺序重要——红色机头和蓝色尾舵与蓝色机头和红色尾舵不同。颜色可以重复使用——四种颜色都可以使用。因此，公式为

4(4)(4) = 64

3. 一道汤的食谱需要 6 种草药中的任意 3 种。可以放进汤里的 3 种草药组合有多少种？

顺序不重要——百里香、欧芹和牛至与牛至、欧芹和百里香在汤里是一样的。元素不能重复使用——汤必须有 6 种草药中的 3 种。因此，公式为

== 20