Serre 算术/有限域用户指南

一般性

本节介绍了本书中使用的许多基本概念。

有限域

本章从讨论有限域的结构开始。给定一个域 $K$，它的**特征**定义为最小的数 $n$，使得 $n\cdot 1$ 与 $K$ 中的零同余。如果这个数 $n$ 是无界的，那么我们说 $K$ 是**特征为 0**。这是定义明确的，因为每个环都有一个唯一的态射 $\mathbb {Z} \to K$。

对于正特征域，表示为 $\mathbb {F} _{q}$，其中 $q=|\mathbb {F} _{q}|$，他接着证明 $q=p^{f}$，其中 $p$ 是某个素数，$f\geq 1$ 是某个整数，并且该域的特征为 $p$。

在陈述这个定理之前，他证明了一个引理，表明弗罗贝尼乌斯

$\sigma :K\to K$ 由 $\sigma (x)=x^{p}$ 给出，是一个单射同态，映射到 $K^{p}$ 的一个子域（修正：$K$ 中的数字不变...）。这可以用来证明，对于 $K$ 的代数闭包 $\Omega$，$\sigma$ 是一个自同构。

该定理还指出，所有阶为 $q=p^{f}$ 的有限域都与 $\mathbb {F} _{q}$ 同构。值得注意的是，观察多项式及其导数的技术是一种常见且有用的技术工具。

你应该问自己的问题是

如何构造阶数大于 $p$ 的有限域？

我们可以利用实数的情况得到一个提示：我们应该看看二次多项式 $x^{2}-a$ 看看

${\frac {\mathbb {F} _{p}[x]}{(x^{2}-a)}}$

是否是一个域。例如，$x^{2}-2$ 在 $\mathbb {F} _{5}$ 中没有解，而 $x^{2}+1$ 有 $[2],[3]$ 为解。这意味着

${\frac {\mathbb {F} _{5}[x]}{(x^{2}-2)}}\cong \mathbb {F} _{25}$ 而 ${\frac {\mathbb {F} _{5}[x]}{(x^{2}+1)}}\cong \mathbb {F} _{5}\times \mathbb {F} _{5}$

本章的剩余部分致力于构建工具来确定二次函数是否确定有限域的域扩展。请注意，这将为我们提供一种递归方法来查找任何$\mathbb {F} _{q}$。此外，我们将构建一个工具和一个定理，称为勒让德符号和高斯互反定理，以有效地确定$x^{2}-a$是否确定域扩展或域的乘积。

有限域的乘法群

本节致力于证明乘法群$\mathbb {F} _{q}^{*}$是阶为$q-1$的循环群。他通过证明一个更强的结果来做到这一点，即$\mathbb {F} _{q}^{*}$的所有子群都是循环群。

此外，在证明定理时，他还展示了费马小定理的推广，该定理指出

$x^{q-1}\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}p)$

请注意，费马原来的定理证明了$f=1$的情况。

本节中使用最有用的技术是欧拉$\phi$-函数的应用。

有限域上的方程

本节研究以下形式的集合

$\{p\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{1}(p)=\cdots =f_{k}(p)=0\}$

其中$f_{i}\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]$。如果您熟悉方案论，Serre 研究了以下形式的方案

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)$

通过观察以下集合

$X(\mathbb {F} _{q})$

幂和

本节介绍一个证明 Chevalley-Warning 定理的技术工具。它依赖于以下

1. $0+1+2+\cdots +p=(0+p)+(1+(p-1))+(2+(p-2))+\cdots =k\cdot p$

Chevalley 定理

Chevallay-Warning 定理给出了一个有用的准则来确定有限域上多项式集合的解的数量。为了方便起见，我将在这里重新陈述它

给定多项式 $f_{\alpha }\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 使得 $\sum {\text{deg}}(f_{\alpha })<n$。$V=\{p\in K^{n}:f_{\alpha }(p)=0\}$ 的基数与 $0({\text{mod }}p)$ 同余。

证明这个定理最有趣的技术工具是指示函数 $P(x)=\prod _{\alpha }(1-f_{\alpha }^{q-1}):K^{n}\to \mathbb {Z} /2$，它可以等效地描述为函数

$P(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in V\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$

注意 $q-1$ 次方是上一节证明的费马小定理推广的应用。

该定理有许多应用。首先，它解决了关于有限域上多项式解的存在性的许多算术问题。这在推论 1 中有说明。此外，他还表明，对于二次形式 $Q=\sum a_{ij}x_{i}x_{j}$（意思是 $a_{ij}$ 给出了一个对称矩阵）在每个有限域上都有一个非零解。

二次互反律

本节介绍了勒让德符号的构造和高斯互反定理。

平方在 $\mathbb {F} _{q}$ 中

该定理是勒让德符号定义的基础，勒让德符号定义为短精确序列中的第二个映射

$1\to \mathbb {F} _{q}^{*2}\to \mathbb {F} _{q}^{*}\to \{\pm 1\}\to 1$

此态射是通过使用费马小定理的推广来定义的。由于 $x^{q-1}\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}q)$，我们有 $x^{(q-1)/2}\equiv \pm 1{\text{ }}({\text{mod }}q)$。对于此序列的应用，请回忆 $\mathbb {F} _{9}\cong \mathbb {F} _{3}[i]\cong \mathbb {F} _{3}[x]/(x^{2}+1)$。我们可以计算出

$(\mathbb {F} _{9}^{*})^{2}=\{1,2,i,2i\}$

因此

$\mathbb {F} _{3^{3}}=\mathbb {F} _{27}\cong \mathbb {F} _{9}[y]/(y^{2}+2i+2)\cong F_{3}[x,y]/(x^{2}+1,y^{2}+x+1)$

勒让德符号（基本情况）

这里，Serre 将序列限制为经典情况

$1\to \mathbb {F} _{p}^{*2}\to \mathbb {F} _{p}^{*}\to \{\pm 1\}\to 1$

并定义第二个映射为勒让德符号

$\left({\frac {\cdot }{p}}\right):\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} /2$

如果您嵌入 $\mathbb {Z} /2\to U(1)$，则勒让德符号就是一个特征的例子（一个群态射 $\chi :G\to U(1)$）。这意味着

$\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)$

此外，勒让德符号可以扩展到

$\mathbb {F} _{p}$ 通过设置 ${\frac {0}{p}}=0$

请注意，我们可以通过将商映射与勒让德符号组合，将勒让德符号提升到 $\mathbb {Z}$ 。 $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p$

最后，他发现了一种计算 $[1],[-1],[2]$ 的勒让德符号的方法。第一个情况很简单，因为 $[-1]^{2}=[1]=[1]^{2}$ 。对于最后两个情况，他引入了几个辅助函数 $\varepsilon ,\omega$ 从奇数到 $\mathbb {Z} /2$

$\varepsilon (n)\equiv {\frac {n-1}{2}}{\text{ }}({\text{mod }}4)={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}4)\\1&{\text{ if }}n\equiv -1{\text{ }}({\text{mod }}4)\end{cases}}$

$\omega (n)\equiv {\frac {n^{2}-1}{8}}{\text{ }}({\text{mod }}8)={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\equiv \pm 1{\text{ }}({\text{mod }}8)\\1&{\text{ if }}n\equiv \pm 5{\text{ }}({\text{mod }}8)\end{cases}}$

回想一下初等数论，所有大于 $2$ 的奇数都是 $4k+1$ 或 $4k+3$ 的形式（它们不可能是 $4k$ 或 $4k+2$ 的形式，因为这些是偶数）。然后，$\varepsilon$ 充当一个函数，将两组奇数划分开来。此外，这两种形式的素数都有无穷多个。塞尔声称：

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=\left({\frac {p-1}{p}}\right)=(-1)^{\varepsilon (p)}$

如果我们将 $p$ 分成奇数的两种情况，那么

$p-1={\begin{cases}(4k+1)-1=4k\\(4k+3)-1=4k+2\end{cases}}$

然后，利用勒让德符号的定义，我们发现

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}(-1)^{\frac {4k}{2}}=(-1)^{2k}=1&{\text{if }}p\equiv 1{\text{ }}({\text{mod }}4)\\(-1)^{\frac {4k+2}{2}}=(-1)^{2k+1}=-1&{\text{if }}p\equiv 3{\text{ }}({\text{mod }}4)\end{cases}}$

如预期的那样。在最后一种情况下，Serre再次使用了一个函数，该函数将奇数分开。注意，每个奇数（因此每个大于 $2$ 的素数）都属于以下形式之一

$8k+1,8k+3,8k+5,8k+7$

为了利用这个划分，他嵌入 $\mathbb {F} _{p}\to {\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ 并断言 $(\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1})^{2}=2$ 其中 $\zeta _{8}$ 是 $8$ 次单位根（在复数中 $\zeta _{8}=e^{\frac {2\pi i}{8}})$。这来自观察结果

$\zeta _{8}^{4}=-1$ 因此 $\zeta _{8}^{-4}=-1$，因为 $\zeta _{8}^{4}\cdot \zeta _{8}^{-4}=\zeta _{8}^{0}=1$ 并且 $\zeta _{8}^{4}\cdot \zeta _{8}^{-4}=(-1)\cdot \zeta _{8}^{4}$

意味着

$(\zeta _{8}^{2}+\zeta _{8}^{-2})^{2}=\zeta _{8}^{4}+2+\zeta _{8}^{-4}=0$ 强制 $\zeta _{8}^{2}+\zeta _{8}^{-2}=0$

因此 $y=\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}$ 满足 $y^{2}=2$，因为

$y^{2}=(\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1})^{2}=\zeta _{8}^{2}+2+\zeta _{8}^{-2}=2$

由于 Frobenius $\sigma :{\overline {\mathbb {F} }}_{p}\to {\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ 是 ${\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ 的自同构，我们有

$y^{p}=\zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}$

如果 $p\equiv \pm 1{\text{ }}({\text{mod }}8)$，那么 $y^{p}=\zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}=\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}=y$。这意味着

$\left({\frac {2}{p}}\right)=y^{p-1}=1$

否则，如果 $p\equiv \pm 5{\text{ }}({\text{mod }}8)$，那么 $y^{p}=\zeta _{8}^{5}+\zeta _{8}^{-5}=-(\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1})=-y$（在单位圆上画一个图来验证 $-\zeta _{8}=\zeta _{8}^{5}$ 和 $-\zeta _{8}^{-1}=\zeta _{8}^{-5}$）。因此 $y^{p-1}=-1$.

小备注

此外，利用勒让德符号是一个群同态的事实，我们可以计算 $[\mathbb {F} _{p}^{*}:(2)]+[\mathbb {F} _{p}^{*}:(p-1)]$ 的许多元素，而无需计算显式的平方。

二次互反律

本节专门用于证明二次互反律。正如我们之前所说，这是一个有用的计算工具，用于确定

${\frac {\mathbb {F} _{p}[x]}{(x^{2}-a)}}$ 是否是一个域扩展

他给出了勒让德符号的计算，以确定

${\frac {\mathbb {F} _{43}[x]}{(x^{2}-29)}}\cong \mathbb {F} _{1849}$

我只陈述二次互反律，并提供其他证明的参考文献。

定理：给定一对不同的奇素数 $p$，$l$，我们有以下互反律

$\left({\frac {l}{p}}\right)=(-1)^{\varepsilon (p)\varepsilon (l)}\left({\frac {p}{l}}\right)$

他的示例计算如下

${\begin{aligned}\left({\frac {29}{43}}\right)&=\left({\frac {43}{29}}\right)&{\text{ since }}\varepsilon (43)=0\\&=\left({\frac {14}{29}}\right)&{\text{ since }}[43]=[14]\\&=\left({\frac {2}{29}}\right)\cdot \left({\frac {7}{29}}\right)&{\text{ from being a group morphism }}\\&=-\left({\frac {7}{29}}\right)&{\text{ since }}29\equiv 5{\text{ }}({\text{mod }}8)\\&=-\left({\frac {29}{7}}\right)&{\text{ since }}\varepsilon (7)=0\\&=-\left({\frac {1}{7}}\right)=-1&\end{aligned}}$

关于二次互反律证明的深入讨论，可在 mathoverflow 上找到

• https://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity

这里汇集了数百个二次互反律证明

• http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/fchrono.html

尝试阅读此证明 https://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_quadratic_reciprocity#Proof_using_algebraic_number_theory 以激发对 **阿廷互反律** 的推广。