Serre 算术/希尔伯特符号用户指南

局部性质

对于固定的（局部）域 $k=\mathbb {Q} _{p},\mathbb {R}$ ，两个 $a,b\in k^{*}$ 的 **希尔伯特符号** 定义为

(a,b)_{p}={\begin{cases}1&{\text{if }}ax^{2}+by^{2}=z^{2}{\text{ for some }}(x,y,z)\in k^{3}-\{(0,0,0)\}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

如果我们用 $ac^{2},bd^{2}$ 代替 $a,b$ ，则

z^{2}=ac^{2}x^{2}+bd^{2}y^{2}=a(cx)^{2}+b(dy)^{2}

表明如果我们将 $a,b$ 乘以平方，则它们的希尔伯特符号不会改变。因此希尔伯特符号分解为

(\cdot ,\cdot )_{p}:{\frac {k^{*}}{(k^{*})^{2}}}\times {\frac {k^{*}}{(k^{*})^{2}}}\to \mathbb {F} _{2}

Serre 在下一节中继续证明这实际上是 $\mathbb {F} _{2}$ 上的双线性形式。

在定义之后，他给出了一个在命题中计算希尔伯特符号的方法：它指出存在一个短正合序列

1\to Nk_{b}^{*}\to k^{*}{\xrightarrow {(\cdot ,a)_{p}}}\{\pm 1\}\to 1

其中 $k_{b}=k({\sqrt {(}}b))$ 并且

N:k_{b}^{*}\to k^{*}

将

x+y{\sqrt {b}}\mapsto (x+y{\sqrt {b}})(x-y{\sqrt {b}})=x^{2}-by^{2}

发送

然后他继续证明/陈述一些用于计算的有用恒等式