高等微积分/牛顿广义二项式定理

牛顿广义二项式定理

我们现在将描述一个广义二项式定理，它使用广义二项式系数。

定义:

令 $k\in \mathbb {N}$ 且 $r\in \mathbb {R}$。然后我们定义

${\binom {r}{k}}:={\frac {r(r-1)\cdots (r-(k-1))}{k!}}$.

对于这些广义二项式系数，我们有以下公式，我们需要它来证明后面的广义二项式定理。

引理:

$(r-k){\binom {r}{k}}+(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}=r{\binom {r}{k}}$.

证明:

${\begin{aligned}(r-k){\binom {r}{k}}+(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}&=(r-k){\frac {\prod \limits _{j=0}^{k-1}(r-j)}{k!}}+{\frac {\prod \limits _{j=0}^{k-1}(r-j)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(r-k+k)\prod \limits _{j=0}^{k-1}(r-j)}{k!}}\\&=r{\binom {r}{k}}\end{aligned}}$$\Box$

现在我们准备好了定理

定理（广义二项式定理；牛顿）：如果 $r\in \mathbb {R}$ 且 $|x|<|y|$，那么

$(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k}y^{r-k}$,

其中后面的级数确实收敛。

证明:

我们从特殊情况$y=1$开始。首先我们证明只要$|x|<1$，后面的级数收敛；我们通过使用幂级数收敛半径的商公式来证明这一点。由于绝对值的连续性允许我们首先在绝对值内计算极限，我们有

$\lim _{k\to \infty }{\frac {|a_{k}|}{|a_{k+1}|}}=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {k+1}{r-k}}\right|=|-1|=1$;

因此我们确实有一个$1$的收敛半径。

这种收敛允许我们在$|x|<1$的收敛区域内应用逐项微分，这将得到

${\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}x^{k-1}$.

如果我们用$g(x)$来表示从我们正在考虑的级数定义的函数，那么我们得到

${\begin{aligned}(1+x){\frac {d}{dx}}g(x)&=\sum _{k=1}^{\infty }(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}x^{k-1}+\sum _{k=1}^{\infty }(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}x^{k}\\&=r+\sum _{k=1}^{\infty }\left((r-k){\binom {r}{k}}+(r-(k-1)){\binom {r}{k-1}}\right)x^{k}\\&=r+r\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k}\\&=rg(x),\end{aligned}}$

其中，我们使用了前面的引理，将第 2 行转置到第 3 行。现在定义 $f(x)=(1+x)^{r}$，我们通过通常的微分规则得到

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {g(x)}{f(x)}}\right)={\frac {g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{f(x)^{2}}}={\frac {r{\frac {g(x)}{x+1}}(1+x)^{r}-rg(x)(1+x)^{r-1}}{f(x)^{2}}}=0$

$|x|<1$ 意味着 $f(x)\neq 0$，这就是为什么上面的每一个分数都是定义的。因此，我们证明了 $g/f$ 是一个常数，特殊情况 $y=1$ 来自 $g(0)=1=f(0)$（因为空积定义为等于 $1$）。

对于一般情况 $x,y\in \mathbb {R}$，其中 $|x|<|y|$，我们有

${\begin{aligned}{\frac {(x+y)^{r}}{y^{r}}}&=(x/y+1)^{r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}(x/y)^{k};\end{aligned}}$

假设条件保证了收敛，因为 $|x/y|<1$。为了得到结论，只需要用 $y^{r}$ 乘以。 $\Box$