高级几何/解答

第 1 章

问题 1

设给定的三条直线为$a,b,c$。作直线$[A,a]$。在直线$[A,a]$上取任意一点$B$，作直线$[B,b]$。作直线$[A,c]$，并设$C=\langle [A,c],[B,b]\rangle$（任意一点均可）。连接$A,B,{\text{and}}C$。应该会形成一个三角形。

问题 2

作两个同心圆。在一个圆上标记一个任意点，并将其连接到圆心。接着，在这个半径上复制一个角。通过非末端点连接圆心与另一个圆。最后，连接线段的两个端点。应该会形成一个三角形。

问题 3

在给定点$A$上，用给定的半径作一个圆。在圆上作一个任意点。将两个角复制到这些点上。将三角形的顶点与角的非末端点连接起来。求两条射线的交点。应该会形成一个新的三角形。

问题 4

用两个正方形的边作为直角边作一个直角三角形。用新的斜边作一个正方形。根据勾股定理，这个正方形等于两条直角边的平方和。

问题 5

在给定点($A$)上，用给定的半径($a$)作一个圆。过给定点作一条直线($b$)，该直线垂直于给定直线。设$B=\langle b,[A,a]\rangle$。在这个点上，用相同的半径作一个圆，从而满足问题要求。

问题 6

假设给定的斜边为$a$。在任意点$A$上，构建$[A,a]$。在圆上构建点$B$，并在${\overline {AB}}$上复制角度。在非终端点上，画一条连接到角度顶点的线。之后，构建一条垂直于前一条线的，并且穿过圆心的垂直线。

问题 7

构建点$A$。创建一条线段${\overline {AB}}$，该线段的长度等于较大正方形的边长（用$a$表示）。以较小正方形的边长为半径，以$A$为圆心，构建一个圆。二等分${\overline {AB}}$，并以二等分点$C$为圆心，以A为端点，构建一个圆。令$D=\langle [C,CA],[A,a]\rangle$。该点将是线段的

问题 8

我们将线段称为 $a,b,{\text{and}}c$. 创建一个任意点 $A$ 并创建两个同心圆，一个半径为 $a$，另一个半径为 $c$. 在小半径圆上构造任意一点，并将其称为 $B$. 构造 $[B,b]$. 使[B, b]与[A, c]相交，并标记其中一点-- 称为 $C$. 通过 $C$ 构造一条平行于 ${\overleftrightarrow {AB}}$ 的直线，称为 $d$. 通过 $A$ 构造一条平行于 ${\overleftrightarrow {BC}}$ 的直线，称为 $e$. 将 $d{\text{and}}e$ 的交点称为 D. 应该构造平行四边形 ABCD。

问题 9

假设我们有一个直角三角形，它的两条直角边分别为 $c$ 和 $d$，斜边为 $e$。假设垂直于斜边的垂线将三角形分割成 $a$ 和 $b$ 的比例。那么，可以得出 $c^{2}=ae$ 和 $d^{2}=be$。因此，平方比 $c^{2}:d^{2}$ 等于 $ae:be$。简化后，得到 $c^{2}:d^{2}=a:b$，从而证明完毕。

问题 10

用两个给定线段作为直角边构造一个直角三角形。不幸的是，你需要的是线段平方后的比例，而你只得到了普通的线段。构造好直角三角形后，画一条垂直于斜边的垂线。斜边会被分割成两条直角边的平方之比，也就是你所需要的比例。现在你已经得到了线段平方后的比例，你需要将第一个给定的线段按这个比例分割。

为此，取第一个线段的两个端点，并将它们分别连接到我们刚构造的线段的两个端点。这两条线应该会相交。还记得垂线将斜边分割的点吗？将这个点连接到我们刚构造的交点，并画一条直线。这条直线将与第一个给定的线段相交，从而解决问题。

问题 11

现在，你得到了一个按比例分割的线段。在分割点处，画一条垂直线。然后，取给定线段的中点，以其中一个端点到中点的距离为半径画圆。让圆与垂直线相交，并构造一个直角三角形。连接垂直线与圆的交点与给定线段的两个端点，就会形成一个直角三角形。

问题 12

构造： 设较大的圆的圆心为$A$，半径为$r_{a}$；设较小的圆的圆心为$B$，半径为$r_{b}$。在较大的圆上任取一点$C$。构造$[C,r_{b}]$ 和直线 ${\overline {AC}}$。设 $D=\langle [C,r_{b}],{\overline {AC}}\rangle$ 向北。方向很重要；使用错误的方向会解决问题13。构造$[A,AD]$。现在，构造两条与圆 $[A,AD]$ 相切的直线，两直线相交于点 B；设切点为$E$ 和 $F$。构造${\overrightarrow {AE}}$ 和 ${\overrightarrow {AF}}$。设两射线与最初较小的圆的交点分别为 $G$ 和 $H$。构造过点$G$ 和 $H$ 且垂直于两射线的直线。

证明： 与问题13基本相同，只是将 r_a - r_b 替换为 r_a + r_b。

问题 13

构造： 让我们将较大圆的圆心称为$A$，较大圆的半径称为$r_{a}$，并将较小圆的圆心称为$B$，较小圆的半径称为$r_{b}$。 在较大圆上创建一个任意点，称为$C$。 构造$[C,r_{b}]$ 和直线${\overline {AC}}$。 令$D=\langle [C,r_{b}],{\overline {AC}}\rangle$ 朝南。 构造$[A,AD]$。 现在，构造两条与圆$[A,AD]$ 相切的切线，它们在 B 点相交；将切点称为$E$ 和$F$。 构造${\overrightarrow {AE}}$ 和${\overrightarrow {AF}}$。 将它们与原始较大圆的交点称为$G$ 和$H$。 构造通过$G$ 和$H$ 的直线，并且垂直于这两条射线。

证明： 圆 [A, AD] 的半径为 $r_{a}-r_{b}$。这意味着，如果在 [A, AD] 上存在切点，通过画射线，我就可以找到 [A, r_a]（即较大的给定圆）上的切点。但是，由于切线在点 $B$ 相交，如果我们增加半径，我们也得到了 $[B,r_{b}]$ 的切线！通过这样做，我们构建了与两个圆相切的直线。

问题 14

我们把三角形的高度称为 $a$，把三角形的底称为 $b$。我们画一个以点 $A$ 为顶点的角。在第一条边上，从 A 点开始做一个任意距离，在这个距离上，画出点 $B$。记住线段 ${\overline {AB}}$ 供以后使用。在另一条边上，画出点 $C$，使得 ${\overline {AC}}$ 等于三角形的高度。回到第一条边上，画出点 $D$，使得 ${\overline {AD}}$ 等于三角形的底。从 D 点画一条平行线，使它与第二条边相交于 E 点。这个点将等于底和高的乘积。

画一个以 ${\overline {AE}}$ 为半径的圆。从这个圆中画一条直径，我们把这个圆的对点称为 $F{\text{and}}G$。由此，在一个对点上画一个 60 度角，然后把它平分。（提示：你可以通过部分画一个等边三角形来画一个 60 度角）。在另一个对点上，画出圆的切线。找到平分线和切线的交点。我们把这个点称为 $H$。取 H 点到对点的距离（简写为 $c$），并找到 $c{\text{and}}{\overline {AB}}$ 的几何平均值。这条长度将是等边三角形的边长。

一个边长如上所述的等边三角形将与给定三角形有相同的面积。

（证明的概要）： 第一次使用平行线的操作是将底乘以高。之后，使用圆的操作是将先前的乘积乘以二。之后，使用三角形的操作是把它除以 sqrt(3)。最后，使用几何平均数的操作是开平方。

由于三角形的面积为 ${\frac {bh}{2}}$，等边三角形的面积为 ${\frac {s^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$。我们可以很容易地看到，我们使用简单的代数来求解 $s$。