工程师与科学家高级数学/变量变化

变量变化

与常微分方程（ODE）类似，偏微分方程（PDE，或更准确地说，整个初始边界值问题（IBVP））可以通过某种变量修改变得更容易处理。到目前为止，我们只处理过在边界处指定流体速度值u为零的边界条件。尽管流体力学可能比这复杂得多（千禧年的一句轻描淡写），但为了多样性，让我们现在看看传热。

如前所述，一维扩散方程也可以描述一维的热流。想想热量如何以一维流动：一种可能性是一根完全横向绝缘的杆，因此热量只沿着杆流动而不穿过它（但要注意，可以在不考虑二维的情况下，考虑沿着杆的热量损失/获得）。

如果这根杆是有限长度的，热量可以进出未绝缘的端点。一根一维杆最多只有两个端点（它也可以只有一个或没有：杆可以被建模为“非常长”），边界条件可以指定这些端点发生的事情。例如，可以指定边界处的温度，或者可能是热流，或者可能是两者的组合。

热流方程通常写为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

它与平行板流动方程相同，只是将ν替换为α，y替换为x。

边界固定温度

让我们考虑一根长度为 1 的杆，其边界处指定（固定）了温度。IBVP 是

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

φ(x) 是t = 0 时的温度。看看BCs 说明了什么：在所有时间，x = 0 时的温度是u₀，而在x = 1 时的温度是u₁。注意，这同样可以是平行板问题：u₀ 和u₁ 将代表壁面速度。

PDE 很容易分离，与前几章基本相同

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(X(x)T(t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x)T(t))\,$

$X(x){\frac {\partial }{\partial t}}(T(t))=\alpha T(t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(X(x))\,$

$X(x)T'(t)=\alpha T(t)X''(x)\,$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}=-k^{2}\Rightarrow T'(t)=-k^{2}\alpha T(t)\Rightarrow T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}\,$

${\frac {X''(x)}{X(x)}}=-k^{2}\Rightarrow X''(x)=-k^{2}X(x)\Rightarrow X(x)=C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(x,t)=X(x)T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\alpha t}(C_{2}\cos(kx)+C_{3}\sin(kx))$

$u(x,t)=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(kx)+B\sin(kx))$

现在，代入边界条件

$u_{0}=u(0,t)\,$

$u_{0}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 0)+B\sin(k\cdot 0))\,$

$u_{0}=Ae^{-k^{2}\alpha t}\,$

$u_{1}=u(1,t)\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k\cdot 1)+B\sin(k\cdot 1))\,$

$u_{1}=e^{-k^{2}\alpha t}(A\cos(k)+B\sin(k))\,$

我们无法继续进行。 除了其他问题之外， 指数因子中的t（之前被除掉了）阻止了任何内容从这里出来。

这是另一个例子，证明了假设 u(x, t) = X(x)T(t) 是错误的。 唯一阻止我们获得解的是非零边界条件。 这就是变量替换有帮助的地方：一个新的变量 v(x, t) 将根据 u 定义，它将是可分离的。

想想如何定义 v(x, t) 以使它的边界条件为零（“齐次”）。 一种方法是

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

这种形式的灵感来自边界条件的出现，并且可以很容易地看到

$u(0,t)=u_{0}\,$

$u(1,t)=u_{1}\,$

${\Big \Downarrow }$

$v(0,t)+h(0)=u_{0}\,$

$v(1,t)+h(1)=u_{1}\,$

如果 h(0) = u₀ 且 h(1) = u₁， v(x, t) 将确实具有零边界条件。 几乎任何满足这些条件的 h(x) 选择都可以做到，但只有一个是最佳选择。 将该替换代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(x,t))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(u(x,t))\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(x,t)+h(x))=\alpha {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(v(x,t)+h(x))\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

所以现在偏微分方程由于涉及 h 的新项而被搞乱了。 这将阻止分离...

...除非最后一项恰好为零。 而不是希望它为零，我们可以要求它（上面暗示的最佳选择），并将其他对 h(x) 的要求放在它旁边

${\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}=0\,$

$h(0)=u_{0}\,$

$h(1)=u_{1}\,$

请注意，由于 *h* 仅是 *x* 的函数，偏导数变为普通导数。以上构成一个非常简单的边值问题，其唯一解为

$h(x)=(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

它只是一条直线。请注意，如果针对 *u*(*x*) 求解稳态（与时间无关）问题，就会出现这种情况。换句话说，只要观察情况的物理特性，就可以很容易地从 *h* 中推导出结果。

现在问题简化为求解 *v*(*x*, *t*)。该 IBVP 将为

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\,$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x)=\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

请注意，IC 在变换下发生了变化。该 IBVP 的解是通过变量分离和叠加在上一章中找到的，结果为

$v(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-((u_{1}-u_{0})x+u_{0}))\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

现在，根据变量更改的定义方式，可以通过添加 h(x) 来求解 *u*(*x*, *t*)

$u(x,t)=v(x,t)+h(x)\,$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)(\varphi (x)-h(x))\ dx\cdot \sin(n\pi x)+(u_{1}-u_{0})x+u_{0}\,$

该解看起来是稳态部分（即 *h*(*x*)）和瞬态部分（即 *v*(*x*)）的总和。

变量变换的可视化。

边界处的时间变化温度

请注意，这对非恒定 BC 来说效果不佳。例如，如果 IBVP 为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=u_{0}(t)\,$

$u(1,t)=u_{1}(t)\,$

那么，变换它将需要 *h* = *h*(*x*, *t*)。重复使用之前介绍的 *u*(*x*, *t*) = *v*(*x*, *t*) + *h*(*x*, *t*) 最终将导致

${\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,}$

$v(x,0)=\varphi (x)-h(x,0)\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

其中，为了简化上述偏微分方程

${\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}\,$

$h(x,0)={\mbox{anything}}\,$

$h(0,t)=u_{0}(t)\,$

$h(1,t)=u_{1}(t)\,$

尽管在初始条件的选择上自由度很大，但实际上并没有让问题变得更简单。

但这并不完全没有用。要注意的是，对 h 的偏微分方程是**刻意选择**的，是为了简化 v(x, t) 的偏微分方程（会导致包含 h 的项抵消），这可能会引发疑问：这样做有必要吗？

答案是否定的。如果是这样，我们**选择**的 h 的偏微分方程将不满足，这会导致 v(x, t) 的偏微分方程中出现额外的项。然而，v(x, t) 不再可分离的初边值问题可以通过**特征函数展开**来求解，其完整过程将在稍后介绍。值得注意的是，特征函数展开需要齐次边界条件，因此变换是必要的。

因此，这个问题目前必须搁置，没有结论。我告诉过你，边界条件可能会搞乱一切。

压力驱动的瞬态平行板流动

现在回到流体力学。之前，我们处理的是最初在运动但由于阻力和驱动力的缺失而减速的流动。也许，如果我们有一个最初静止的流体（即零初始条件），但被某个恒定的压差设定为运动状态，情况会更有趣。这种情况的初边值问题将是

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$u(y,0)=0\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

这个带有压强项的偏微分方程之前已经描述过。压强项是驱动流动的因素；它被认为是恒定的。

变量变换的目的是从偏微分方程中移除压强项（阻止分离），同时保持边界条件的齐次性。

一种方法是在 u(x, t) 中添加一些东西，可以是 t 的函数，也可以是 y 的函数，这样微分就会留下一个常数，可以抵消压强项。添加 t 的函数将非常不利，因为它会导致时间相关的边界条件，所以让我们尝试添加一个 y 的函数

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

将此代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(v(y,t)+f(y))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(v(y,t)+f(y))-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

该过程仅在以下条件成立时才能简化 PDE 并保留边界条件

$0=\nu {\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

$f(0)=0\,$

$f(1)=0\,$

第一个条件是一个常微分方程，它用于简化关于v(y, t) 的偏微分方程，将导致最后两项的抵消。另外两个条件是用来保持问题的齐次边界条件的（注意，如果u(y, t) 的边界条件不是齐次的，那么f(y) 上的边界条件需要被选择来修正它）。

上述边值问题的解很简单

$f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,$

所以f(y) 成功地被确定了。注意，该函数关于y = 1/2 对称。关于v(y, t) 的初边值问题变为

${\frac {\partial v}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\,$

$v(y,0)=-f(y)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\,$

$v(0,t)=0\,$

$v(1,t)=0\,$

这是我们一直在反复解决的同一个初边值问题。关于v(y, t) 的解是

$v(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\alpha t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)\,$

而关于u(y, t) 的解则根据变量变化的定义得到

$u(y,t)=v(y,t)+f(y)\,$

$u(y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi y)\left({\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y-y^{2})\right)\ dy\cdot \sin(n\pi y)+{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)\,}$

$u(y,t)={\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}(y^{2}-y)-{\frac {P_{x}}{2\rho \nu }}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\nu t}\cdot {\frac {4(-1)^{n}-4}{n^{3}\pi ^{3}}}\sin(n\pi y)\,$

此解符合我们的预期：它从平面开始，并迅速接近抛物线轮廓。这是在现实IC章节中推导出的稳态流的相同抛物线；积分是针对整数n计算的，简化了它。

仔细观察这个解，我们可以发现一些有趣的东西：这只是“反向”衰减的平行板流。流不是从抛物线开始并逐渐接近u = 0，而是从u = 0 开始，并逐渐接近抛物线。

时间相关的扩散率

在这个例子中，我们将改变时间，一个自变量，而不是改变因变量。考虑以下IBVP

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

注意，这是一个可分离的；变换不是必需的，但是它会更容易，因为我们可以重复使用以前的解决方案，如果它可以被转化成熟悉的东西。

让我们不要参与物理学的讨论，只把它称为扩散问题。它可以是动量的扩散（如流体力学），热量的扩散（传热），化学物质的扩散（化学），或者仅仅是数学家的玩具。换句话说，一个坦白：它是专门为了作为一个例子而被编造的。

二阶导数前面的（时间相关）因子被称为扩散率。之前，它是一个常数α（称为“热扩散率”）或常数ν（“运动粘度”）。现在，它随着时间衰减。

为了通过变换简化偏微分方程，我们寻找使因子可以抵消的方法。一种方法是定义一个新的时间变量，称为τ，并让它与t的关系保持任意。链式法则给出

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}\,$

将此代入偏微分方程

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

现在注意，如果

${\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{1+t^{2}}}\Rightarrow \tau =\arctan(t)+C\,$

C 是完全任意的。然而，C 的最佳选择是使当t = 0 时 τ = 0 的那个，因为这不会改变在t = 0 时定义的IC；所以，取C = 0。注意，无论选择C 为何，边界条件都不会改变，除非它们是时间相关的，在这种情况下，它们无论选择C 为何都会改变。IBVP 被转化为

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

$u(x,0)=\varphi (x)\,$

$u(0,\tau )=0\,$

$u(1,\tau )=0\,$

找出解并恢复原始变量

$u(x,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\tau }\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-(n\pi )^{2}\arctan(t)}\int _{0}^{1}2\sin(n\pi x)\varphi (x)\ dx\cdot \sin(n\pi x)\,$

需要注意的是，与之前的例子不同，问题的物理性质（如果有的话）无法帮助我们。同样值得一提的是，该解并不会随着时间的推移而限制到u = 0。

总结

对于偏微分方程来说，变量变换的应用方式略有不同，因为偏微分提供了更多的自由度。在本章中，我们选择了一个看起来合适的通用变换形式（受阻于无法轻松求解的部分），列出了一系列需求，并定义了该变换以唯一地满足这些需求。对常微分方程执行相同的操作，往往会演变成一种机械化的尝试，如同猴子使用打字机一样。

许多简单的小变化不言而喻。例如，到目前为止，我们一直在处理长度为“1”的杆或间距为“1”的板。如果杆长 5 米？那么空间将需要使用以下变换进行无量纲化：

$x=5\ {\mbox{m}}\cdot {\hat {x}}\,$

简单的无量纲化，确实很简单；然而，对于包含更多项的偏微分方程，它可能导致尺度分析，进而导致摄动理论，所有这些将在后面的章节中解释。

值得注意的是，IBVP 的物理性质经常暗示需要进行哪种变换。即使是一些非线性问题也可以通过这种方式解决。

这个主题还没有结束，变量变换将在以后的章节中再次讨论。