工程师和科学家的高级数学/有限差分法

有限差分法

有限差分法是一种基本的数值方法，它基于将导数近似为差商。

$u'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}$

基本思想是如果 $\Delta x$ 很“小”，那么

$u'(x)\approx {\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}$

类似地，

$u''(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^{2}}}$

$u''(x)\approx {\frac {u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^{2}}}$

这是一个从微积分后退的步骤。我们不是取极限并得到变化的精确率，而是将导数近似为差商。通常，差商中出现的“差”(即分子中的量)被称为*有限差*，它是导数的离散模拟，并在除以 $\Delta x^{n}$ 时近似于 $n^{\text{th}}$ 阶导数。

用有限差替换微分方程中的所有导数将消除微分并得到代数方程，这些方程可能是耦合的，具体取决于离散化的应用方式。

例如，方程

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

可以离散化为

${\frac {u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}}={\frac {u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{\Delta x^{2}}}$

${\Big \Downarrow }$

$u(x,t+\Delta t)=u(x,t)+{\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}(u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t))$

这种离散化方法很不错，因为“下一个”值（时间上）可以用不同位置的“更早”值表示。