工程师和科学家的高等数学/绪论与分类

绪论与分类

前面章节的目的是提供对偏微分方程及其解法的浅显介绍，避免吓跑任何人。许多基本概念和非常重要的细节都被省略了。从这一点开始，我们将以稍微严格的方式进行；然而，除了一个本科常微分方程课程之外的知识，再加上一些集合论和无数小时的维基百科学习，应该就足够了。

一些定义和结果

形式为

f(u)=C\,

的方程称为偏微分方程，如果 $u$ 是未知的，并且函数 $f$ 包含偏导数。更简洁地说， $f$ 是一个算子或一个映射，它导致（除其他外） $u$ 的偏导数。 $u$ 称为因变量，在本上下文中，选择此字母很常见。偏微分方程的例子（参考上述定义）

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2=0\qquad {\mbox{where}}\quad f(u)={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ ,\quad C=-2

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\qquad {\mbox{where}}\quad f(u)={\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ ,\quad C=0

{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}=0\qquad {\mbox{where}}\quad f(u)={\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}\ ,\quad C=0

注意， $u$ 的具体构成并未明确说明，它可以是一个函数、多个函数打包成向量，或其他形式；但如果 $u$ 满足该偏微分方程，则称之为该方程的解。

另一个需要观察的是 $C$ 的表面冗余性，其作用来自于线性方程的研究。如果 $C=0$ ，则该方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。

值得一提的是，“函数”、“算子”和“映射”这些术语可以互相替换使用，并且函数可以包含微分或任何运算。本文将优先（但不唯一）使用“函数”一词。

偏微分方程的阶数是指其中出现的最高阶导数的阶数，但通常会区分变量。例如，方程

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\,

关于 $t$ 是二阶的，关于 $x$ 是四阶的（无论 $EI$ 的形式如何，都会产生四阶导数）。

线性偏微分方程

假设 $f(u)=L(u)$ ，并且 $L$ 满足以下性质

$L(u+v)=L(u)+L(v)\,$
$L(\alpha u)=\alpha L(u)\,$

对于任何标量 $\alpha$ 。第一个性质称为可加性，第二个性质称为齐次性。如果 $L$ 是可加的且齐次的，则称其为线性函数，此外，如果它涉及偏微分和

L(u)=C\,

则上述方程为线性偏微分方程。这就是 $C$ 的重要性所在。考虑方程

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+A

其中 $A$ 不是 $u$ 的函数。现在，如果我们通过

L(u)=0\quad {\mbox{where}}\quad L(u)={\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-A\,

表示该方程，则 $L$ 既不满足可加性也不满足齐次性，因此是非线性的（注意：定义条件的方程是“齐次的”，但使用了该术语的不同用法）。如果相反

L(u)=A\quad {\mbox{where}}\quad L(u)={\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,

则 $L$ 现在是线性的。因此请注意， $L$ 和 $C$ 的选择通常不是唯一的，但是如果一个方程可以写成线性形式，则称其为线性方程。

线性方程非常流行。这种流行的原因之一是称为叠加原理的一点小魔法。假设 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 都是线性齐次方程的解（从现在起， $L$ 将表示线性函数），即

L(u_{1})=0\quad {\mbox{and}}\quad L(u_{2})=0\,

对于同一个 $L$ 。我们可以将 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 的组合代入偏微分方程，并根据线性函数的定义，可以看出

L(a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})=0\,

a_{1}L(u_{1})+a_{2}L(u_{2})=0\,

对于某些常数 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 。如前所述， $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 都是解，这意味着

a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 0=0\qquad ({\mbox{Since}}\quad L(u_{1})=0\quad {\mbox{and}}\quad L(u_{2})=0)\,

0=0\,

所有这些意味着，如果 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 都是线性齐次方程 $L(u)=0$ 的解，那么 $a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}$ 也是该偏微分方程的解。 $a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}$ 被称为 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 的 线性组合。这个结果对于更多的组合也成立，一般来说，

叠加原理
假设在方程 $L(u)=0\,$ 中，函数 $L$ 是线性的。如果某个序列 $u_{i}$ 满足该方程，也就是说如果 $L(u_{0})=0\ ,\ L(u_{1})=0\ ,\ L(u_{2})=0\ ,\ \dots \,$ 那么该序列的任何线性组合也满足该方程 $L\left(\sum a_{i}u_{i}\right)=0\,$ 其中 $a_{i}$ 是一个常数序列，求和是任意的。

注意，这里没有提到偏微分。事实上，对于**任何**线性方程，无论是代数方程、积分方程还是偏微分方程，该原理都成立。关于非齐次方程，该规则可以很容易地扩展。考虑非齐次方程

L(u)=C\,

假设该方程由 $u_{p}$ 解出，并且某个序列 $u_{i}$ 解出了“相关的齐次问题”，

L(u_{p})=C\,

L(u_{i})=0\,

其中 $L$ 在两者之间是相同的。例如，通过特定的组合 $u_{p}+a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}$ 可以观察到叠加原理的扩展。

L(u_{p}+a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})=C\,

L(u_{p})+a_{1}L(u_{1})+a_{2}L(u_{2})=C\,

C+a_{1}\cdot 0+a_{2}\cdot 0=C\,

C=C\,

更一般地，

扩展叠加原理
假设在非齐次方程中 $L(u)=C\,$ 函数 $L$ 是线性的。假设该方程由某个 $u_{p}$ 求解，并且相关的齐次问题 $L(u)=0\,$ 由一个序列 $u_{i}$ 求解。也就是说， $L(u_{p})=C\ ;\ L(u_{0})=0\ ,\ L(u_{1})=0\ ,\ L(u_{2})=0\ ,\ \dots \,$ 然后 $u_{p}$ 加上序列 $u_{i}$ 的任何线性组合都满足原始（非齐次）方程 $L\left(u_{p}+\sum a_{i}u_{i}\right)=C\,$ 其中 $a_{i}$ 是一个常数序列，求和是任意的。

能够以任意线性组合的方式组合解非常宝贵，因为它允许将复杂问题的解表示为更简单问题的解。

这就是部分原因，即使是适度非线性的方程也会带来如此大的困难：在几乎所有情况下，都不存在类似于叠加原理的东西。

线性方程的分类

二元变量的线性二阶偏微分方程的一般形式为

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+F=0

如果大写字母系数为常数，则该方程称为**常系数线性方程**，否则称为**变系数线性方程**；并且，如果 $F$ = 0，则该方程是**齐次的**。字母 $x$ 和 $y$ 用作通用的自变量，它们不必表示空间。方程根据其系数进一步分类；数量

B^{2}-AC\,

称为**判别式**。方程分类如下：

B^{2}-AC<0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ PDE\ is\ {\underline {elliptic}}.}

B^{2}-AC=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ PDE\ is\ {\underline {parabolic}}.}

B^{2}-AC>0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ PDE\ is\ {\underline {hyperbolic}}.}

请注意，如果系数发生变化，则方程可能在一个域中属于一种分类，而在另一个域中属于另一种分类。另请注意，所有一阶方程都是抛物线的。

解的平滑性受方程类型的有趣影响：即使边界值不平滑，椭圆方程也会产生平滑的解（直至系数的平滑性）；抛物线方程将导致解的平滑性沿低阶变量增加；双曲线方程保留了非平滑性。

将分类推广到更多变量，尤其是在始终将一个变量视为时间变量（即与初始条件相关联，但我们尚未讨论此类条件）时，并不十分明显，定义可能因上下文和来源而异。一种常见的分类方法是使用所谓的椭圆算子。

定义：椭圆算子
形式为 $E(u)=-\sum _{k,j}A_{kj}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}+\sum _{l}B_{l}i^{-1}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}+Cu$ 如果最高阶导数的系数数组 $A$ 是一个正定对称矩阵，则称该算子为椭圆型算子。 $i$ 是虚数单位。更一般地， $n^{th}$ 阶椭圆型算子是 $E(u)=\sum _{m=0}^{n}\ \sum _{k,j,l,\dots }A_{k,j,l,\dots }^{m}i^{-m}{\frac {\partial ^{m}u}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{k}...}}$ 如果最高阶（ $n^{th}$ ) 导数的 $n$ 维系数数组类似于正定对称矩阵。不常见的是，定义被扩展到包括负定矩阵。

拉普拉斯算子的负值， $-\nabla ^{2}u$ ，是椭圆型的，其中 $A_{kj}=-\delta _{k,j}$ 。二阶算子的定义是单独提供的，因为二阶算子是迄今为止最常见的。

然后，对这些方程进行分类如下：

E(u)=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ equation\ is\ {\underline {elliptic}}.}

E(u)+k{\frac {\partial u}{\partial t}}=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ equation\ is\ {\underline {parabolic}}.}

E(u)+k{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\ \Rightarrow \ \mathrm {The\ equation\ is\ {\underline {hyperbolic}}.}

对于某个常数 k。当椭圆算子为拉普拉斯算子时，这些方程的最经典例子就得到了：拉普拉斯方程、线性扩散方程和波动方程分别为椭圆型、抛物型和双曲型，并且都在任意数量的空间维度中定义。

其他分类

拟线性

线性形式

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+D{\frac {\partial u}{\partial x}}+E{\frac {\partial u}{\partial y}}+F=0

之前已经考虑过大写字母系数可能是自变量的函数的可能性。如果这些系数另外还是 $u$ 的函数，并且不产生或不涉及导数，则该方程称为拟线性方程。必须强调的是，拟线性方程不是线性方程，没有叠加原理或其他类似的性质；但是，这些方程受到特别的关注。与一般的非线性方程相比，它们更容易理解，也更容易进行解析、定性和数值分析。

一个常见的拟线性方程，可能将被研究无数年，是平流方程