工程师和科学家高级数学/无量纲化

无量纲化

简介

你可能已经注意到所有迄今为止处理的问题中可能有一些奇怪的地方：像 $0$ 或 $1$ 这样的“简单”数字不断出现在 BC 和其他地方。例如，到目前为止，我们已经处理了诸如

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\,$

这是为了简化这本书，因为作者很懒吗？不。实际上，作者确实很懒，但这实际上是所谓的 **无量纲化** 的结果。

从根本上说，无量纲化做了两件事

• 将所有单位从问题中剔除。
• 使相关变量的范围从 $0$ 到 $1$ 或类似的值。

第二点有非常严重的含义，我们必须等到以后再谈。我们现在将讨论从问题中剔除单位：这很重要，因为大多数自然函数在输入单位时没有意义。例如，$\sin(2.0s)$ 是一个愚蠢的表达式，没有任何意义（如果你不相信，可以考虑它的泰勒展开式）。

不要误解：你可以保持单位不变，解决任何你喜欢的問題。这就是为什么角速度的单位是 Hz ($s^{-1}$)，因此 $\sin(2.0Hzt)$ 有意义，如果 $t$ 以秒为单位（或者可以使其成为秒）。

无量纲化的动机可以通过注意到变量与维度（“维度”包括大小和单位）的比率有不断出现的趋势而看出。检查一下稳态平行板流动（一个 ODE）的解决方法，板间距为 $D$，**而不是 $1$**，会发生什么**

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

现在让我们保持 $y$ 和 $L$ 的维度未指定。解决这个 BVP

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\qquad \Rightarrow \qquad u={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}y^{2}+C_{1}y+C_{0}\,$

$u(0)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}\cdot 0^{2}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

$u(D)=0={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D^{2}+C_{1}D\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}D\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {P_{x}}{2\nu \rho }}(y^{2}-Dy)\,$

${\Big \Downarrow }$

$u(y)={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}\left(\left({\frac {y}{D}}\right)^{2}-{\frac {y}{D}}\right)\,$

注意我们有 $y/D$ 出现。这不是巧合；这意味着无量纲问题（或者至少是半无量纲。我们还没有讨论过 $u$ 的维度）可以通过改变 $y$ 变量来设置。

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

${\hat {y}}$ 是 $y$ 的归一化版本，它的范围从 $0$ 到 $1$，其中 $y$ 变化范围从 $0$ 到 $D$。据说$y$ 按 $L$ 缩放。

这个新的变量可以代入问题

$u({\hat {y}})={\frac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

由于新变量不包含任何单位，因此如果 $u$ 具有速度单位，则有理系数必须具有速度单位。考虑到这一点，系数可以被除

${\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

我们可以定义另一个新变量，无量纲速度

${\hat {u}}={\frac {u({\hat {y}})}{\cfrac {D^{2}P_{x}}{2\nu \rho }}}\,$

将此代入方程

${\hat {u}}({\hat {y}})={\hat {y}}^{2}-{\hat {y}}\,$

现在是时候问一个重要的问题：为什么？

有很多好处。原始问题涉及 4 个参数：粘度、密度、压力梯度和壁间距离。在这个完全无量纲化的解中，恰好没有这样的参数。上面的简化方程完全描述了解的特性，它包含所有相关的信息。

一个无量纲问题的解比一个特定的有量纲问题的解更有用。这在问题只产生数值解的情况下尤其如此：求解无量纲问题可以大大减少需要制作的图表和图形数量，因为你已经减少了可能影响解的参数数量。

这引出了另一个重要的问题，也是本章的总结：在这里，我们首先解决了一个通用的维度问题，然后对其进行了无量纲化。这种便利在更复杂的问题中将无法实现。是否可以在事先进行无量纲化？是的。回忆一下边值问题

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u(0)=0\,$

$u(D)=0\,$

请注意，$y$ 在我们感兴趣的域内从 $0$ 变化到 $D$。因此，用 $D$ 缩放 $y$ 是自然的。

${\hat {y}}={\frac {y}{D}}\,$

请注意，我们也可以用 $\pi D$ 或 e^10.0687 D 这样的数字来缩放 $y$，并最终得到 $y$ 的无量纲化，并且所有数学运算都是合理的。但是，$D$ 单独 是最好的选择，因为得到的变量 ${\hat {y}}$ 将在 $0$ 到 $1$ 之间变化。用这种比例选择，该变量除了是无量纲的，还被称为归一化；归一化是一个理想的属性，因为它可以简化数学运算、提高数值计算精度、提供量级感等等。

那么 $u$ 呢？$y$ 的特性是已知的，但 $u$ 则不然（我们为什么要解决问题？）。让我们为 $u$ 的未知比例取一个名称，比如 $u_{s}$，并用这个未知常数来归一化 $u$

${\hat {u}}={\frac {u}{u_{s}}}\qquad \Rightarrow \qquad u=u_{s}{\hat {u}}\,$

使用链式法则，新的变量可以代入 ODE

${\frac {du}{dy}}={\frac {d}{dy}}(u)={\frac {d}{dy}}(u_{s}{\hat {u}})=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}=u_{s}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\,$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left({\frac {du}{dy}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{dy}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d}{d{\hat {y}}}}\left({\frac {d{\hat {u}}}{d{\hat {y}}}}\right)\cdot {\frac {d{\hat {y}}}{dy}}={\frac {u_{s}}{D}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\cdot {\frac {d}{dy}}\left({\frac {y}{D}}\right)={\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}\,$

因此我们现在得到了导数。它可以代入微分方程

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

${\frac {u_{s}}{D^{2}}}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {P_{x}}{\nu \rho }}\,$

$u_{s}{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

请记住，$u_{s}$ 是从薄空中提取的某个常数。因此，它可以是任何我们想要的。为了使方程无量纲化并尽可能简化它，我们可以选择

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

这样 ODE 将变成

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\,$

边界条件是齐次的，因此它们很容易简化。注意到当 $y=D$ 时，${\hat {y}}=1$

${\hat {u}}(0)=0\,$

${\hat {u}}(1)=0\,$

现在可以快速求解

${\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\qquad \Rightarrow \qquad {\hat {u}}={\frac {{\hat {y}}^{2}}{2}}+C_{1}{\hat {y}}+C_{0}\,$

${\hat {u}}(0)=0={\frac {0^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 0+C_{0}\qquad \Rightarrow \qquad C_{0}=0\,$

${\hat {u}}(1)=0={\frac {1^{2}}{2}}+C_{1}\cdot 1\qquad \Rightarrow \qquad C_{1}=-{\frac {1}{2}}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\hat {u}}({\hat {y}})={\frac {1}{2}}({\hat {y}}^{2}-{\hat {y}})\,$

因此，这与从维数解发展而来的无量纲解并不完全相同：右侧有一个因子为 $1/2$。因此，$u_{s}$ 缺少 $2$。这不是问题，两种发展都解决了问题并将其无量纲化。注意，在这样做时，我们在甚至解决 BVP 之前就得到了以下结果

$u_{s}={\frac {D^{2}P_{x}}{\nu \rho }}\,$

这说明了速度大小的很多信息。

在结束本章之前，值得一提的是，一般来说，如果 ${\hat {u}}=uu_{s}+C_{u}$ 和 ${\hat {y}}=yy_{s}+C_{y}$，其中 $u_{s}$，$y_{s}$，$C_{u}$，和 $C_{y}$ 都是常数，

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial y^{n}}}={\frac {\partial ^{n}{\hat {u}}}{\partial {\hat {y}}^{n}}}\cdot {\frac {u_{s}}{y_{s}^{n}}}\,$

莱布尼兹符号绝对是一件好事。