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平行板流动：简单初值问题

公式

与常微分方程一样，变量分离很容易理解，并且在可行的情况下都能有效地工作。对于常微分方程，我们使用替换规则来允许反微分，但对于偏微分方程，这是一个完全不同的过程，涉及让依赖关系穿过偏导数。

将使用一个流体力学示例。

考虑两块彼此平行且范围很大的平板，相隔 1 个距离。流体仅在一个方向（称为x）上平滑地流过这两块平板之间。这可以在下面的图片中看到。

平行板流动问题的可视化。

经过一些假设，可以得到以下偏微分方程来描述流体流动

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {P_{x}}{\rho }}\,$

这个线性偏微分方程是简化 Navier-Stokes 方程的结果，Navier-Stokes 方程是一个大型非线性偏微分方程组，描述了流体流动。u 是流体在x方向上的速度，ρ 是流体的密度，ν 是运动粘度（打个比方，流体分子之间的摩擦力有多大），而P_x 是压力梯度或压力梯度矢量场。注意u = u(y, t)，与x无关。换句话说，流体上游的状态与下游的状态没有区别。请注意，我们没有考虑湍流，并且流动状态在顶板和底板之间变化，因为当u接近平板时速度为 0。

u(y, t) 是速度剖面。流体力学通常关注速度场，这与刚体运动学相反，在刚体运动学中，物体的位移是重要的。换句话说，对于刚体，物体的所有“点”都以相同的速度运动。对于流体，我们得到速度场，每个点都以其自身的速度运动。

P_x/ρ 的比率描述了驱动力；它是在x方向上的压力变化（梯度）。如果P_x 为负，则下游（正x）的压力小于上游（负x）的压力，流体将从左向右流动，即，u(y, t) 通常为正。

现在开始创建一个具体的问题：假设长时间施加一个恒定的负压力梯度，直到速度剖面稳定（稳定意味着“不随时间变化”）。然后突然移除压力梯度，在没有这种驱动力的情况下，流体将减速并停止。这就是我们将用于示例计算的假设。我们假设流动是稳定的，然后随着压力的移除（用P_x/ρ表示）而衰减。因此，我们可以从模型中移除 -P_x/ρ 项，见下面的（PDE）。

初始流动剖面。

假设在移除压力之前，速度剖面为u(y, t) = sin(π y)。速度剖面指的是，由于速度是在流动的横截面上测量的，因此它们形成一个凸起。这是有道理的：摩擦力决定了靠近平板的运动较少（见下一段），因此我们预计在中心线（y = 1/2）附近的速度最大。这个假设的剖面并不完全正确，但目前将作为示例。它在感兴趣的域中在右边绘制。

在深入数学计算之前，还需要说明一点：边界条件。在本例中，BC 称为**无滑移条件**，它指出流体在壁面（边界）处的速度等于壁面的速度。如果我们没有做这个假设，流体将像刚体一样运动。由于本问题中壁面（或平板）的速度都为零，因此流体在这两个边界处的速度必须为零。因此，BC 为u(0, t) = 0（底板）和u(1, t) = 0（顶板）。

IBVP 为

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\qquad {\mbox{(PDE)}}\,$

$u(y,0)=\sin(\pi y)\qquad {\mbox{(IC)}}\,$

$u(0,t)=0\,$

$u(1,t)=0\qquad {\mbox{(BCs)}}\,$

请注意，初始条件 IC 与本书第一部分中的凸起相同，只是方向相反。这个 IC 意味着当我们开始计算时，流动已经开始了。我们实际上是在计算流动速度的衰减。

分离

变量以以下方式分离：我们假设$u(y,t)=Y(y)T(t)$，其中Y 和T 分别是y 和t 的（未知）函数。将这种形式代入偏微分方程

${\frac {\partial }{\partial t}}(u(y,t))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(u(y,t))\,$

使用 $u(y,t)=Y(y)T(t)$ 会得到

${\frac {\partial }{\partial t}}(Y(y)T(t))=\nu {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(Y(y)T(t))\,$

$Y(y){\frac {\partial }{\partial t}}(T(t))=\nu T(t){\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(Y(y))\,$

$Y(y)T'(t)=\nu T(t)Y''(y)\,$

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}={\frac {Y''(y)}{Y(y)}}\,$

仔细观察最后一个方程：方程的左边严格取决于t，而右边严格取决于y，并且它们相等。t可以独立于y变化，它们仍然相等，y可以独立于t变化，它们仍然相等。只有当两边都是常数时才会发生这种情况。可以如下所示

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}\right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {Y''(y)}{Y(y)}}\right)\,$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}\right)=0\,$

对两边求导，将右边变为常数 0。左边保持不变。然后对两边求积分得到

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}={\mbox{a constant}}\,$

对常微分求积分恢复左边，但将右边保留为常数。类似地，Y''/Y 也是一个常数。

所讨论的常数称为分离常数。我们可以简单地给它一个字母，比如A，但对常数的良好选择将使以后的工作更容易。在这种情况下，最好的选择是 -k²。这将在稍后得到证明（但应该再次强调，它可以以你想要的任何方式表示，假设它可以跨越域）。

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}={\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}\,$

${\Big \Downarrow }$

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}=-k^{2}\,$

${\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}\,$

现在变量已经分离。最后两个方程是两个可以独立求解的常微分方程（事实上，Y 方程是一个特征值问题），尽管它们都包含一个未知常数。注意，ν 保留用于 T 方程。这种选择使求解略微容易一些，但同样完全是任意的。

${\frac {T'(t)}{\nu T(t)}}=-k^{2}\,$

重新排列并注意，以下表达式中隐藏的概念是，一个函数等于它自身的导数，这有点像欧拉数的警钟。

$T'(t)=-k^{2}\nu T(t)\,$

然后求解。

$T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\nu t}\,$

这是一个从 Ted Woollett 的 'Maxima by Example' 第 3 章 '3.2.3 使用 desolve 的精确解' 中摘取的解。Maxima 的输出没有显示，但应该很容易与所写内容相符。

(%i1) de:(-%k^2*v*T(t))-('diff(T(t),t)) = 0;

(%i2) gsoln:desolve(de,T(t));

对于我们的右侧也是如此。

${\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}\,$

$Y''(y)=-k^{2}Y(y)\,$

并求解。

$Y(y)=C_{2}\cos(ky)+C_{3}\sin(ky)\,$

在 Maxima 中，解法如下。当 Maxima 要求“零”或“非零”时，输入“非零；”

(%i1)de:(-%k^2*Y(y))-('diff(Y(y),y,2));

(%i2)atvalue('diff(Y(y),y), y=0, Y(0)*%k )$

(%i3)gsoln:desolve(de,Y(y));

总解将是 $u(y,t)$，仍然包含未知常数，目前是 Y 和 T 的乘积。因此，我们将 $Y(y)$ 和 $T(t)$ 的偏解代回

$u(y,t)=Y(y)T(t)=C_{1}e^{-k^{2}\nu t}(C_{2}\cos(ky)+C_{3}\sin(ky))$

$u(y,t)=e^{-k^{2}\nu t}(A\cos(ky)+B\sin(ky))$

注意，C₁ 已乘入 C₂ 和 C₃，减少了任意常数的数量。因为未知常数乘以未知常数仍然得到未知常数。

现在应该应用初始条件或边界条件。如果首先应用初始条件，则系数将被等式化，并且所有常数将被确定。但是，边界条件可能满足也可能不满足（在这种情况下它们将满足，但你通常不会那么幸运）。因此，为了安全起见，将首先应用边界条件。

$u(0,t)=e^{-k^{2}\nu t}(A\cos(k\cdot 0)+B\sin(k\cdot 0))=0$

$A\cdot 1+B\cdot 0=0\Rightarrow A=0\qquad {\mbox{(no slip along lower boundary)}}\,$

因此，A 为零消除了 $\cos(k\cdot 0)$ 项。

$u(1,t)=e^{-k^{2}\nu t}B\sin(k\cdot 1)=0\,$

$B\sin(k\cdot 1)=0\Rightarrow B=0\quad {\mbox{or}}\quad k=n\pi \qquad {\mbox{(no slip along upper boundary)}}\,$

如果我们取B = 0，则该解将只是u(y, t) = 0（通常称为平凡解），这将满足 BC 和 PDE，但不可能满足 IC。因此，我们取k = nπ，其中 n 是任何整数。在应用 BC 后，我们有

衰减流。

$u(y,t)=e^{-(n\pi )^{2}\nu t}B\sin(n\pi y)\,$

然后我们需要对其应用 IC。根据上面的 IC，$u(y,0)$ 是

$u(y,0)=\sin(\pi y)\,$

根据 BC，$u(y,0){\mbox{with t = 0}}$ 是，见上文。将这两个$u(y,0)$ 的定义设为相等是

$e^{0}B\sin(n\pi y)=\sin(\pi y)\,$

由于根据 IC 假设，t = 0，因此$e^{-(n\pi )^{2}\nu t}$ 正在变为 $e^{0}$。只有当B = 1 且n = 1 时，该等式才能成立，这使得我们可以从其 BC 化身中的函数中简单地移除这两个常数。就是这样！完整解是

$u(y,t)=e^{-\pi ^{2}\nu t}\sin(\pi y)\,$

值得验证 IC、BC 和 PDE 是否都由此满足。还要注意该解是 t 的函数和y 的函数的乘积。右侧的图形说明了这一点。观察到该轮廓是在νt 的不同值下绘制的，而不是指定一些ν 并绘制t 的不同值。请记住，v 是运动粘度。因此，流动速度的衰减也取决于它。从解中看，t 和ν 只出现一次，并且它们在相乘，因此这样做很自然。可以从一开始就引入无量纲时间。

那么会发生什么呢？流体从其初始状态开始，呈指数衰减。注意，将 *x* 替换为 *y*，*t* 替换为 *νt* 后，这与引言中所示的热量在棒材中的流动结果完全相同。这不是巧合：棒材的偏微分方程描述了热量的扩散，平行板的偏微分方程描述了动量的扩散。

再看一眼分离常数 -*k*²。平方很方便，没有它，*Y*(*y*) 的解将涉及平方根。如果没有负号，解将涉及指数而不是正弦，因此常数将是虚数。

假设 *u*(*y*, *t*) = *Y*(*y*)*T*(*t*) 由问题的物理性质所证明：流体速度曲线保持其一般形状（由 *Y*(*y*) 决定），只是随着流体速度减慢（由 *T*(*t*) 决定），曲线会随着时间的推移而变得平坦。

快速回顾一下我们做了什么。首先，我们从 Navier-Stokes 方程中提取了一个模型偏微分方程，并通过假设压力被移除而将其简化。然后，我们通过分离 *Y* 和 *T* 对其进行了初步求解。最后，我们应用了边界条件 (BC) 和初始条件 (IC)，得出了最终解。