工程师和科学家高等数学/封页

符号表

ODE	常微分方程
PDE	偏微分方程
BC	边界条件
IVP	初值问题
BVP	边值问题
IBVP	初边值问题

常用算子

算子应用于标量 $u(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ 或向量场 $\mathbf {v} (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})\,$.

符号	常用名称和其他符号	描述和注释	笛卡尔坐标系下的定义
${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}$	偏导数， $u_{x_{i}},\ \partial _{x_{i}}u\,$	关于 $x_{i}$ 的 $u$ 的变化率，保持其他自变量不变。	$\lim _{\Delta x_{i}\to 0}{\frac {u(x_{1},\cdots ,x_{i}+\Delta x_{i},\cdots ,x_{n})-u}{\Delta x_{i}}}$
${\frac {du}{dx_{i}}}$	导数，全导数， ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{i}}}\,$	相对于 $x_{i}$ 的 $u$ 的变化率。 如果 $u$ 是多元的，这个导数通常会沿着一条路径依赖于其他变量。	${\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dx_{i}}}+\cdots +{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dx_{i}}}$
$\nabla u$	梯度，del 算子，$\mathrm {grad} \ u\,$	描述多变量函数最大变化率的方向和大小的向量。 符号 $\nabla$ 称为 nabla。	$\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)$
$\nabla ^{2}u$	拉普拉斯算子，标量拉普拉斯算子，拉普拉斯算子，$\Delta u,\ (\nabla \cdot \nabla )u\,$	衡量 $u$ 的凹度，等效地比较某点 $u$ 的值与相邻值。	${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}$
$\nabla \cdot \mathbf {v}$	散度，$\mathrm {div} \ \mathbf {v} \,$	衡量“生成”，换句话说，向量场在某一点上作为源或汇的作用有多强。	${\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+\cdots +{\frac {\partial v_{n}}{\partial x_{n}}}$
$\nabla \times \mathbf {v}$	旋度，旋涡，环量密度，$\mathrm {curl} \ \mathbf {v} ,\ \mathrm {rot} \ \mathbf {v} \,$	描述（通常是三维的）向量场的旋转速率和相应的旋转轴的向量。	$\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}\right)$
$\nabla ^{2}\mathbf {v}$	向量拉普拉斯算子	类似于（标量）拉普拉斯算子。但是，请注意，它通常 *不* 等于向量的逐元素拉普拉斯算子。	$\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\mathbf {v} } )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {\mathbf {v} } )$

三维算子在不同坐标系下的表示

上表中列出了笛卡尔坐标表示。对于球坐标，采用的是 $(r,\theta ,\phi )=(\mathrm {distance,azimuth,colatitude} )$ 约定。

算子	柱坐标	球坐标
$\nabla u$	$\left({\frac {\partial u}{\partial r}},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }},{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\,$	$\left({\frac {\partial u}{\partial r}},{\frac {1}{r\sin(\phi )}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }},{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \phi }}\right)\,$
$\nabla ^{2}u$	${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\,}$	${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\phi )}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin(\phi )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial u}{\partial \phi }}\right)\,$
$\nabla \cdot \mathbf {v}$	${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rv_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\,$	${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}v_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin(\phi )}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin(\phi )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin(\phi )v_{\phi }\right)\,$