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向量空间：数学游乐场

偏微分方程的研究需要对所处理的数字类型及其处理方式有一个明确的定义。 PDE 通常在某些类型的向量空间中研究，这些向量空间具有一些属性和规则，这些属性和规则使分析成为可能，并统一了许多概念。

实数域

域是一个集合，该集合与集合上的两个运算相关联，称为加法和乘法，这些运算遵循某些规则，称为公理。字母 $F$ 将用于表示域，根据定义，域需要以下内容 ( $a,b,$ 和 $c$ 属于 $F$ )

加法和乘法的封闭性：域成员的加法和乘法产生相同域的成员。
加法和乘法是结合律的： $a+(b+c)=(a+b)+c$ 和 $a(bc)=(ab)c$ .
加法和乘法是交换律的： $a+b=b+a$ 和 $ab=ba$ .
加法和乘法是分配律的： $a(b+c)=ab+ac$ 和 $ab=ba$ .
加法单位元素的存在：在 $F$ 中存在一个元素，记为 0，有时称为零个数字的和，使得 $a+0=a$ .
乘法单位元素的存在：在 $F$ 中存在一个与 0 不同的元素，记为 1，有时称为零个数字的积，使得 $a\ 1=a$ .
加法逆元的存在：在 $F$ 中，与 $a$ 相关的元素表示为 $-a$ ，使得 $a-a=0$ 。
乘法逆元的存在：在 $F$ 中，与 $a$ 相关的元素（如果 $a$ 不等于零），表示为 $1/a$ ，使得 $a\ 1/a=1$ 。

这些被称为域公理。我们所处理的域，也是最常见的域，是实数域。与实数域相关的集合是实数集合，加法和乘法是每个人都知道的熟悉运算。

另一个可以形成域的集合的例子是理数集合，理数可以表示为两个整数的比率。一个常见的不能形成域的集合的例子是整数集合：一般来说，不存在乘法逆元，因为整数的倒数一般不是整数。

请注意，当我们说一个对象是在 $F$ 中时，是指该对象是域相关集合的成员，并且它符合域公理。

向量

大多数非数学专业的学生被教导说向量是数量的有序组（“元组”）。这并不完整，向量比这更一般。非正式地说，向量被定义为可以缩放并与其他向量相加的对象。这将在稍后变得更加具体。

向量的例子

实数。
实数对、三元组等。
多项式。
大多数函数。

非向量的例子

扩展实数的成员。具体来说，无穷大和负无穷大元素既不能缩放也不能相加。
整数，至少在被实数缩放时（因为结果不一定是一个整数）。

需要注意的一个有趣（读：令人困惑）的事实是，根据上面的定义，矩阵甚至张量都符合向量的条件，因为它们可以被缩放或相加，即使这些对象被认为是更“传统”向量的推广，而将张量称为向量会导致混淆。

向量空间

向量空间可以看作是域的推广。

设 $F$ 表示某个域，那么在 $F$ 上的向量空间 $V$ 是一个向量集合，与两个称为向量加法和标量乘法的运算相关联，表示为

向量加法： $u+v=w$ ，其中 $u,v,w\in V$ 。
标量乘法: $au=v$ ，其中 $u,v\in V$ 且 $a\in F$ .

集合 $V$ 中的成员称为向量，而与 $V$ 相关的域 $F$ 中的成员称为标量。请注意，这些运算意味着封闭（见第一个域公理），因此不需要明确说明。还要注意，这本质上定义了向量：可以相加和缩放的对象。向量空间必须符合以下公理（ $u,v,$ 和 $w$ 在 $V$ 中； $a$ 和 $b$ 在 $F$ 中）。

加法是结合的: $u+(v+w)=(u+v)+w$ .
加法是交换的: $u+v=v+u$ .
标量乘法对向量加法满足分配律: $a(u+v)=au+av$ .
标量乘法对域加法满足分配律: $(a+b)u=au+bu$ .
标量和域乘法是兼容的: $a(bu)=(ab)u$ .
存在加法单位元: 集合 $V$ 中存在一个元素，记为 0，使得 $u+0=u$ .
加法逆元的存在性：在 $V$ 中存在一个与 $u$ 相关的元素，记为 $-u$ ，使得 $u-u=0$ 。
乘法单位元的存在性：在 $F$ 中存在一个不同于 0 的元素，记为 1，使得 $1v=u$ 。

向量空间的一个例子是多项式作为实数域上的向量。一个不是向量空间的例子是向量是实数域上的有理数，因为标量乘法会导致不是有理数的向量（暗示标量乘法下的封闭性被违反）。

类比于线性函数，向量本质上是线性的，因此向量空间也被称为线性空间。术语“线性向量空间”也被使用，但这有点多余，因为不存在非线性向量空间。现在值得一提的是一个重要的数量，叫做线性组合（不是向量空间定义的一部分，但很重要）

a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots =\sum a_{i}u_{i}\,

其中 $a_{i}$ 是一个域元素的序列，而 $u_{i}$ 是一个向量的序列。向量可以通过其他向量的线性组合来形成这一事实是向量域的本质所在。

请注意，域本身上的域可以作为一个向量空间。实数域和其他常见对象有时被称为空间，因为距离和其他有用的概念适用。

向量空间的定义非常普遍。请注意，例如，没有提到向量之间的任何类型的乘积，也没有关于向量“长度”的概念。上面定义的向量空间非常原始，但它是一个起点：通过各种扩展，特定的向量空间可以拥有许多很好的性质和其他特征，使我们的游乐场既有趣又舒适。我们将讨论基（basis的复数形式），然后介绍一些特定的向量空间。

基

$V$ 的一个非空子集 $W$ 如果 $W$ 本身是一个向量空间，则被称为 $V$ 的线性子空间。要求 $W$ 是一个向量空间可以安全地具体化为： $W$ 在向量加法和标量乘法下封闭，因为向量空间的其他性质都是继承的。

一组 $n$ 个向量 $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ 在 $V$ 中的 线性生成空间 可以定义为

\mathrm {span} (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})=\bigcap _{\mathrm {All} \ a_{i}}a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}

其中 $a_{1},a_{2},\dots a_{n}\in F$ 。线性生成空间是所有 $a_{i}$ 的选择组合的交集。这个概念可以扩展到 $n$ 不一定是有限的情况。 $V$ 的生成空间是 $V$ 的所有线性子空间的交集。

现在，考虑从集合 $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ 中移除一个向量会发生什么。生成空间会改变吗？不一定会，可能剩余的向量在生成空间中已经足够“填补”缺少的向量，通过剩余向量的 线性组合 来实现。

令 $B$ 是 $V$ 的一个子集。如果 $B$ 的生成空间与 $V$ 的生成空间相同，并且从 $B$ 中移除一个向量必然会改变其生成空间，那么向量集 $B$ 被称为 $V$ 的基底，而 $B$ 中的向量被称为 线性无关 的。可以证明，对于每个向量空间都可以构造一个基底。

需要注意的是，基底不是唯一的。这种对基底的模糊定义非常方便，因为它非常广泛，值得完全理解。向量空间的一个重要性质是它必然有一个基底，并且空间中的任何向量都可以写成基底元素的线性组合。

这里提供了一个更易懂（但不太基础）的解释：对于在域 $F$ 上的向量空间 $V$ ，向量 $u_{1},u_{2},\dots u_{n}\,$ 构成了 $V$ 的基底（其中 $u_{i}$ 在 $V$ 中，并且下面的 $a_{i}$ 在 $F$ 中），满足以下性质

基向量线性无关：如果

v=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}=0

那么

a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0

没有例外。

基向量张成 $V$ ：对于给定的 $v$ 在 $V$ 中，可以选择 $a_{i}$ 使得

a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}=v\,

向量空间的基向量通常表示为 $e_{i}$ 。

欧几里得n维空间

由于大多数学生都熟悉欧几里得n维空间，因此本节更多地是作为示例而非其他内容。

设 $\mathbb {R}$ 为实数域，则向量空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 在 $\mathbb {R}$ 上定义为 $\mathbb {R}$ 中元素的n元组的空间。换句话说，更清楚地说

如果

x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}{\mbox{ are }}\in \mathbb {R}

，则

\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots x_{n}){\mbox{ is }}\in \mathbb {R} ^{n}

，其中

\mathbf {x}

是向量空间

\mathbb {R} ^{n}

的向量。

这些向量被称为n维坐标，而向量空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 被称为实数坐标空间；注意坐标（与更一般的向量不同）通常以粗体表示，或者在字母上加箭头。它们也被称为空间向量、几何向量，如果上下文允许，就简称为“向量”，有时也称为“点”，尽管有些作者拒绝将点视为向量，认为点具有“固定”意义，因此点不能被加、乘或以其他方式操作。这样做的部分原因是为了能够说某个向量空间绑定到一个点，这个点被称为原点。

欧几里得n维空间 $E^{n}$ 是具有某些附加结构定义的特殊实数坐标n维空间 $\mathbb {R} ^{n}$ ，它最终产生了（专门是这些）向量的几何概念。

首先，定义一个内积，用尖括号或点表示

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}\,

这个数量，它将两个向量转换为一个标量（ $\mathbb {R}$ 的成员），在定义更多结构之前并没有太大的几何意义。在坐标空间中，点积符号更受欢迎，这种乘积通常被称为“点积”，尤其是在 $n=2$ 或 $n=3$ 时。这个内积的定义使 $E^{n}$ 成为一个内积空间。

接下来是范数，它根据内积定义

\|\mathbf {x} \|=|\mathbf {x} |={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}\,

当 $n=2$ 或 $n=3$ 时，用字母 x 两边加单竖线表示的符号很常见，这与实数尤其是复数的绝对值类似。对于坐标空间，范数通常被称为 $\mathbf {x}$ 的长度。这很快就会引出两个向量之间距离的概念

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x-y} \|\,

这只是“从” $\mathbf {y}$ 到 $\mathbf {x}$ 的向量的长度。

最后， $\mathbf {x}$ 和 $\mathbf {y}$ 之间的角度 $\theta$ 通过以下公式定义，对于 $0\leq \theta \leq \pi$ ,

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|\cos(\theta )\quad \Rightarrow \quad \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)\,

这种角度定义的动机，适用于任何 $n$ ，源于这样一个事实：我们可以证明， $\mathbb {R} ^{2}$ 中两个向量的实际可测量角度满足上述关系（范数的动机类似）。当然，讨论这些二维角度和距离需要精确定义向量作为“箭头”的概念（即，将向量与可以在纸上绘制的东西相关联），但这会变得很复杂，而且大多数人已经潜意识地熟悉了这一点，这不是本介绍的重点。

这完成了 $E^{n}$ 的定义。在偏微分方程的文本中，对欧几里得空间的全面介绍并不十分合适，它被包括在内是为了让人们了解一个熟悉的向量空间是如何通过称为“结构”的扩展从头开始构建的。

巴拿赫空间

巴拿赫空间比欧几里得空间更通用，它们标志着我们从向量作为几何对象到向量作为函数分析奇妙世界中的玩具的转变。

简而言之，巴拿赫空间被定义为任何完备赋范向量空间。具体细节如下。

内积

内积是一种向量运算，其结果为一个标量。这些向量是向量空间 $V$ 的成员，而标量是与 $V$ 相关的域 $F$ 的成员。定义了内积的向量空间被称为“装备”了内积，该空间是一个内积空间。 $u$ 和 $v$ 的内积通常记作 $\langle u,v\rangle$ 。

内积的真正通用定义会很长。通常，如果向量本质上是实数或复数（例如，复数坐标或实值函数），则内积必须满足以下公理

第一个变量的分配律： $\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle$ 。
第一个变量的结合律： $\langle au,v\rangle =a\langle u,v\rangle$ 。
非退化和非负性： $\langle u,u\rangle \geq 0$ ，当且仅当 $u=0$ 时等式成立。
共轭对称性: $\langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}$ .

注意，如果空间是实数空间，最后一个要求（上面的横线表示复共轭）将简化为 $\langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle$ ，然后前两个公理扩展到第二个变量。

内积的一个理想性质是某种正交性。只有当两个非零向量的内积为零时，它们才被称为正交。请记住，我们谈论的是一般的向量，而不是特定的欧几里得向量。

内积并非唯一，好的定义才是赋予特定空间质量的关键。例如，欧几里得内积定义了欧几里得距离和角度，这些量构成了欧几里得几何的基础。

范数

范数通常，但并非总是，根据内积来定义，这就是为什么内积首先被讨论（为了技术上的准确性，巴拿赫空间并不一定需要内积）。范数是一种运算（用双竖线表示），它接受一个向量并生成一个标量，必须满足以下公理

可伸缩性: $\|au\|=a\|u\|$ .
三角不等式: $\|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|$ .
非负性: $\|u\|\geq 0$ ，当且仅当 $u=0$ 时，等式成立。

事实是 $\|0\|=0$ 可以从上面两个陈述中证明出来。

定义要求 $\|u\|=0$ *仅当* $u=0$ 时（将此与内积进行比较，内积即使输入非零向量，也可以为零）；如果放宽此条件，使得 $\|u\|=0$ 对于非零向量也是可能的，则得到的运算称为半范数。

两个向量 $u$ 和 $v$ 之间的距离是一个有用的量，它根据范数定义

d(u,v)=\|u-v\|\,

距离通常被称为度量，具有距离的向量空间被称为度量空间。

完备性

如前所述，巴拿赫空间被定义为完备的赋范向量空间。范数已在上面描述，因此剩下要建立巴拿赫空间定义的只是完备性。

考虑向量空间 $V$ 中的一系列向量 $u_{i}$ 。如果这些向量“趋向于”某个“目标”向量，如图所示，则这一系列向量被称为柯西序列。更准确地说，如果总是可以通过选择较大的 $m$ 和 $n$ 使距离 $d(u_{m},u_{n})$ 任意地小，则该序列为柯西序列。

柯西序列的极限 $u$ 为

u=\lim _{i\to \infty }u_{i}

如果每个柯西序列都存在一个也在 $V$ 中的极限，则称向量空间 $V$ 是完备的。最终，巴拿赫空间是一个配备了完备范数的向量空间。注意，完备性意味着存在距离，这意味着每个巴拿赫空间都是一个度量空间。

欧几里得 n 维空间就是一个完备的向量空间的例子。一个不完备的向量空间的例子是在有理数域上的有理数空间：有可能形成一个收敛于无理数的有理数序列。

希尔伯特空间

请注意，内积是在上面定义的，但在巴拿赫空间的定义中并没有被使用。实际上，巴拿赫空间必须具有范数，但不一定需要具有内积。但是，如果巴拿赫空间中的范数是通过内积定义的，即

\|u\|={\sqrt {\langle u,u}}\rangle

则由此产生的特殊巴拿赫空间被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间在偏微分方程的研究中很重要（最终与某些相关性！），因为许多定理和重要结果仅在希尔伯特空间中有效。