高级微观经济学/不确定条件下的决策

不确定条件下的决策

彩票

一个简单彩票是一个元组 $(p_{1},\dots ,p_{N})$ 将概率分配给 N 个结果，使得 $\sum _{n=1}^{N}p_{k}=1$.

一个复合彩票将概率 $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})$ 分配给一个或多个简单彩票 $L_{1},\dots ,L_{K}$

一个简化彩票可以针对任何复合彩票计算，从而产生一个结果等效（对结果产生相同的概率分布）的简单彩票，与原始复合彩票等效。

考虑一个对彩票 $L_{1},\dots ,L_{K}$ 的复合彩票，它们都将概率 $p_{1},\dots ,p_{N}$ 分配给 N 个结果。复合彩票意味着对 N 个结果的概率分布，对于任何结果 n，可以计算为 $\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}\cdot p_{n}^{k}$
换句话说，复合彩票所隐含的事件 n 的概率是每个彩票分配给事件 n 的概率，按每个彩票被选中的概率加权。

示例

考虑一个结果空间 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$。一个（公平的）六面骰子复制了一个简单彩票 $\left({\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{6}},0,0,0,0\right)$
一个（公平的）十面骰子复制了简单的彩票 $\left({\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}},{\frac {1}{10}}\right)$

现在想象一个人从一个已知包含九个六面骰子和一个十面骰子的瓮中随机抽取一个骰子。这种抽取代表了在结果空间上定义的复合彩票。任何结果的概率 $\in [1,6]={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {16}{100}}$
而结果的概率 $\in [7,10]={\frac {9}{10}}\cdot 0+{\frac {1}{10}}\cdot {\frac {1}{10}}={\frac {1}{100}}$.
生成一个简化的彩票，$\left({\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {4}{25}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{100}},{\frac {1}{100}}\right)$

偏好和不确定的结果

令 $\mathbf {\mathcal {Z}}$表示一组可能的结果（消费组合、货币支付等），其复合彩票空间为 $\Delta \mathbf {\mathcal {Z}}$.