高级微观经济学/偏好关系

偏好关系

偏好关系为经典微观经济学建立理性选择理论奠定了基础。本节描述偏好关系及其性质。理性偏好方法研究人类决策过程，将偏好作为给定的，强加公理化假设来代表理性选择。我们首先设想决策者面临的一组相互排斥的选择，X。二元关系 $\succeq$ 代表对X元素的偏好。用自然语言， $x\succsim y$ 可以读作“x 至少和 y 一样好”或“x 弱于 y”。

两个有用的衍生关系是

严格偏好： $x\succ y\iff x\succsim y$ 且不 $y\succsim x$ .
$x\succ y$ 可以读作“x 比 y 好”或“x 严格优于 y”。

无差异： $x\sim y\iff x\succsim y{\text{ and }}y\succsim x$ .
$x\sim y$ 可以读作“x 和 y 无差异”。

理性偏好

偏好关系 $\succsim$ 在X 上被称为理性，如果它既是完全的又是传递的。完全性要求所有对 $(x,y)$ 都可以进行比较。

完全性： $\forall (x,y)\in \mathbf {X}$ ，要么 $x\succeq y,\quad y\succeq x$ ，要么两者兼有。

传递性强加了“一致性”要求，使X元素能够进行排名或序数映射。例如，如果一位顾客严格偏好苹果而不是橙子，并且偏好橙子而不是香蕉，那么传递性假设要求他/她也偏好苹果而不是香蕉。

传递性：对于所有选择x、y 和 z，如果 $x\succeq y\land y\succeq z$ 那么 $x\succeq z$

理性偏好的性质

$\succeq$ 是自反的 $\Leftrightarrow \forall x\in \mathbf {X} \,x\succeq x$ 。这是由完全性推导出来的。
$\succ$ 是非自反的 $\Leftrightarrow x\succ x$ 永远不成立
$\succ$ 是传递的 $\Leftrightarrow x\sim y\land y\sim z\Leftrightarrow z\sim z$
$\sim$ 是自反的。
$\sim$ 是传递的 $\Leftrightarrow x\succ y\succsim z\Leftrightarrow x\succ z$
$\sim$ 是对称的 $\Leftrightarrow x\sim y\Rightarrow y\sim x$ .
如果 $x\succ y$ 并且 $y\succeq z$ 那么 $x\succ z$ .

稍微思考一下就能发现理性假设的严重性。通俗地说，理性意味着个人完全了解并理解自己的偏好。在任何时候，决策者都能够被要求采取行动，并且必须能够提供对选择集中所有元素的完整、一致的排序。然而，请注意，理性假设并未对偏好的主观质量施加任何限制，并且该框架也没有对决策者可用的信息或计算能力施加任何要求。简而言之，偏好的主观性在理性假设下依然存在。

关于偏好的额外假设

许多假设经常有助于形式化分析。以下部分列表作为参考。

期望假设

单调性：关系 $\succsim$ 如果 $x\in \mathbf {X} \land y\geq x\Rightarrow y\succsim x$ 是（弱）单调的，如果 $x\geq y\land y\neq x\Rightarrow y\sim x$ 是强单调的。
单调性假设大致可以翻译为“越多越好”。虽然在某些情况下很明显，但包括污染等经济“坏事”的选择集可能会违反单调性。
局部非饱和： $\succsim$ 当 $\forall x\in \mathbf {X} ,\;\forall \varepsilon >0\;\exists y\in \mathbf {X} {\mbox{ such that }}|y-x|\leq \varepsilon \land \;y\sim x$ 时为非饱和。注意单调性，即“更多总比更好，即使只是无穷小的偏差”，意味着局部非饱和，但反过来不成立。非饱和假设在下面关于无差异集和无差异曲线的讨论中起着关键作用。

凸性

$\succsim$ 在 X 上是凸的，如果 $\forall x\in \mathbf {X} {\mbox{ the upper contour }}y\in \mathbf {X} :y\succsim x{\mbox{ is convex; if}}y\succsim x\land z\succsim x,\;(\alpha y+(1-\alpha )z)\succsim x\forall \alpha \in [0,1]$
凸性偏好意味着边际替代率递减。对于任何两种商品，需要越来越多的商品来补偿另一种商品的边际损失。
凸性偏好可以解释为对消费多样化的渴望。

同质偏好

如果所有无差异集都通过沿射线的比例扩展而相关，则偏好被称为同质偏好， $x\sim y,\;\alpha x\sim \alpha y\;\forall \alpha \geq 0$

拟线性偏好

$\succsim {\mbox{ on }}\mathbf {X}$ 相对于其计价货币是拟线性的，如果

无差异集沿着商品 1 的轴线平行移动；
$x\sim y\Rightarrow (x+\alpha e_{1})\sim (y+\alpha e_{1}),{\mbox{ where }}e_{1}=(1,0,\dots ,0){\mbox{ and }}\alpha \in \mathbb {R}$
计价货币是可取的，