高级微观经济学/生产

生产集的性质

生产向量 $Y=(y_{1},y_{2},\ldots y_{n})$ 其中 $y_{i}>0$ 代表产出，而 $y_{i}<0$ 代表投入

• Y 不为空
• Y 是封闭的（包括其边界）
• 没有免费午餐 - $y\geq 0\rightarrow Y=0$（没有投入，没有产出）
• 不作为的可能性 $(0\in Y)$
• 自由处置
• 不可逆性 - 不能将产出转化为投入
• 规模报酬
  • 非递增：$\forall y\in Y,\,\alpha y\in Y\forall \alpha \in [0,1]$
  • 非递减：$\forall y\in Y,\,\alpha y\in Y\forall \alpha >1$
  • 常数：$\forall y\in Y,\,\alpha y\in Y\forall \alpha \geq 0$
• 可加性：$y\in Y{\mbox{ and }}{y}^{\prime }\in Y\rightarrow y+{y}^{\prime }\in Y$
• 凸性：$y,{y}^{\prime }\in Y{\mbox{ and }}a\in [0,1]\rightarrow ay+(1-a){y}^{\prime }\in Y$

利润最大化

示例

${\begin{aligned}\max &\;p_{2}y_{2}-p_{1}y_{1}\\{\mbox{s.t. }}&[y_{1},y_{2}]\in Y\\&f(y_{1},y_{2})\leq k\\{\mathcal {L}}(y_{1},y_{2},\lambda )&=p_{2}y_{2}-p_{1}y_{1}+\lambda [k-f(y_{1},y_{2})]\\{\mathcal {L}}_{1}&=-p_{1}-\lambda f_{1}=0\\{\mathcal {L}}_{2}&=p_{1}-\lambda f_{2}=0\\{\mathcal {L}}_{\lambda }&=k-f(y_{1},y_{2})=0\\\end{aligned}}$

单一产出

$y=f(Z)$ 其中 $Z=(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$
${\begin{aligned}&\max _{y,Z}py-w\\{\mbox{subject to }}&y=f(z)\\&{\mbox{ -or- }}\\&\max _{Z}pf(Z)-wZ\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial z_{i}}}&=pf_{i}-w_{i}\leq 0\\\end{aligned}}$

边际收益产品

边际收益产品是产出价格乘以投入的边际产量 $MRP=p\cdot f_{i}$
利润最大化的最优条件要求边际收益产品等于生产中使用的所有投入的成本（实际）
$pf_{i}=w_{i}\;\forall z_{i}>0$

边际技术替代率

${\begin{aligned}pf_{1}&=w_{1}\\pf_{2}&=w_{2}\\&\rightarrow {\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {w_{1}}{w_{2}}}f(z_{1},z_{2})&={\bar {y}}\\f_{1}dz_{1}&+f_{2}dz_{2}=0\\{\frac {dz_{2}}{dz_{1}}}&=-{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\end{aligned}}$

利润函数和供给的性质

• 利润函数表现出 1 次齐次性 $\pi =pf(z)-w{z}$ 所有价格翻倍会使名义利润翻倍
• 供给函数表现出 0 次齐次性

成本最小化

最佳 CMP 给出成本函数 <align>\funcd{c}{w,q}</align>

示例

${\begin{aligned}\min _{z_{1},z_{2}}&\,w_{1}z_{1}+w_{2}z_{2}{\mbox{ s.t. }}f(z_{1},z_{2})\leq q\\{\mathcal {L}}(z_{1},z_{2},\lambda )&=w_{1}z_{1}+w_{2}z_{2}-\lambda [f(z_{1},z_{2})-q]\\{\mathcal {L}}_{1}&=w_{1}-\lambda f_{1}=0\\{\mathcal {L}}_{2}&=w_{2}-\lambda f_{2}=0\\{\mathcal {L}}_{\lambda }&=f(z_{1},z_{2})-q=0\\\end{aligned}}$

${\frac {w_{1}}{w_{2}}}={\frac {f_{1}}{f_{2}}}\;{\frac {mp_{1}}{mp_{2}}}$ 投入品价格比率等于边际产量比率

${\frac {w_{1}}{f_{1}}}={\frac {w_{2}}{f_{2}}}$ 通过 $z_1$ 扩展的边际成本等于通过 $z_{2}$ 扩展的边际成本

${\begin{aligned}{C}(w_{1},w_{2},q)&=w_{1}z_{1}^{*}+w_{2}z_{2}^{*}\\&=w_{1}z_{1}^{*}+w_{2}z_{2}^{*}-\lambda [f(z_{1}^{*},z_{2}^{*})-q]\\{\frac {\partial C}{\partial w_{1}}}&=z_{1}^{*}\\{\frac {\partial C}{\partial w_{2}}}&=z_{2}^{*}\\{\frac {\partial C}{\partial q}}&=\lambda {\mbox{- marginal cost}}\\\end{aligned}}$

CMP 的解给出要素需求，$z_{i}^{*}=z_{i}({w},q)$ 以及成本函数 $\sum w_{i}z_{i}=c(w,q)$

成本函数

• $P>ATC$ 产生正的经济利润，短期和长期
• 在短期，固定成本无关紧要。如果 $p<AVC$，则停产
• 最低有效规模：$mc=ATC=P$

在长期，由于任何 $P>ATC$ 公司都会进入，没有经济利润。在长期，$\pi \to 0$，直到 $p=ATC\rightarrow \pi =0$