高级微观经济学/效用函数

效用函数

对选择的正式分析依赖于一种被称为效用的福祉概念。这个概念提供了一个实值空间，其中选择集中的每个成员对应于一个数值。从选择集X到实数线的映射被称为效用函数。

效用函数：一个函数$u:X\rightarrow \mathbb {R}$是表示偏好关系$\succeq$的效用函数，如果
$\forall x,y\in \mathbf {X} ,\quad u(x)\geq u(y)\iff x\succsim y$.

效用函数在经济学中发挥着基础作用。然而，在经济学中使用时，效用概念在现实世界中没有可衡量的对应物。效用函数提供选择的序数排名，因此分配给每个效用水平的数值是完全任意的。
为了阐明，考虑一组可能的选择$\mathbf {X} ={x,y,z}$，其偏好为${x\succ y,y\succ z,x\succ z}$。现在考虑两个候选效用函数
$u_{1}(c)={\begin{cases}100&{\mbox{if }}c=x\\50&{\mbox{if }}c=y\\10&{\mbox{if }}c=z\\\end{cases}}u_{2}(c)={\begin{cases}3&{\mbox{if }}c=x\\2&{\mbox{if }}c=y\\1&{\mbox{if }}c=z\\\end{cases}}$

注意，函数$u_{1}(c),\quad u_{2}(c)$都提供了对在选择集中定义的偏好的有效表示。然而，效用的心理状态解释可能会对这两个函数有不同的解释。使用一些粗略的“幸福”或“满足”的概念，$u_{1}$表明选择x使我们的决策者“高兴一倍”相比选择y，而这种解释$u_{2}(c)$不支持。事实上，$u_{1},\quad g(u_{1}(c))$的任何单调变换都代表了原始的偏好关系，但可能（通常不会）保留效用水平之间的基数关系。因此，将心理解释附加到效用创造了在底层偏好关系中不存在的信息。

效用函数的性质

1. 单调性：效用函数表现出弱单调性当且仅当$x\geq y\Rightarrow x\succsim y$，表现出强单调性当且仅当$x\geq y\land x\neq y\Rightarrow x\succ y$