广泛的影响

就像许多基本物理定律一样，胡克定律指出载荷和变形之间的线性关系，涵盖了小而简单的和大和复杂的范围。例如，该理论很好地近似了承受轴向载荷的简单试件。当然，它也是线性弹簧的精确物理模型。它甚至对非常复杂的结构有效，只要它们线性响应。这些都是微不足道且可能不言而喻的陈述，但它们是强大而重要的。

载荷和应力

为了更深入地了解这一点，让我们考虑一个最初无应力的准静态线性弹性机械系统，该系统受到一个载荷 $F_{0}$ 的作用，该载荷具有固定的方向和作用点。系统的全局平衡由结构中的内部应力模式维持。应力模式的特定形状是每个点达到平衡所必需的。也就是说，如果应力大小 $\sigma _{i}$ 在某个点 $P$ 与平衡状态 $\sigma _{0}$ 相差一个因子 $k$ ，系统将自动努力达到独特的平衡模式。但是，可以通过将 $P$ 周围材料的应力水平改变相同的因子 $k$ 来获得一个新的平衡状态，该状态符合 $P$ 处的新的条件。因此，如果

\begin{equation} \sigma_i = k \sigma_{i0} \end{equation}

如果应力大小的重构传播到整个系统，包括载荷作用点，则将达到全局平衡。因此，在这种情况下，载荷本身的大小也必须改变因子 $k$ 。因此，我们可以写

$F=kF_{0}$ (2)

方程式（）和（）产生

$\sigma _{i}={\frac {\sigma _{i0}F}{F_{0}}}=k_{i}F$ (3)

其中 $k_{i}$ 是一个常数。

方程式（）仅在归一化应力模式不受 $k_{i}$ 大小影响的情况下才为真。如果系统是非线性的，即根据 $k_{i}$ 的大小不同地响应，则方程式（）不为真/不可靠。

载荷和应变

此外，胡克定律和方程式（）给了我们

$\epsilon _{xi}={\frac {\sigma _{xi}-\nu (\sigma _{yi}+\sigma _{zi})}{E}}=F{\frac {k_{xi}-\nu (k_{yi}+k_{zi})}{E}}=Fk'_{xi}$

$\epsilon _{yi}={\frac {\sigma _{yi}-\nu (\sigma _{xi}+\sigma _{zi})}{E}}=F{\frac {k_{yi}-\nu (k_{xi}+k_{zi})}{E}}=Fk'_{yi}$

$\epsilon _{zi}={\frac {\sigma _{zi}-\nu (\sigma _{xi}+\sigma _{yi})}{E}}=F{\frac {k_{yi}-\nu (k_{xi}+k_{yi})}{E}}=Fk'_{zi}$

载荷和位移

让我们考虑一条路径 $\Delta S_{12}$ 穿过一个连续的线性弹性体。 $\Delta S_{12}$ 具有两个端点 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 。

两个点之间某个方向上距离的相对变化 $\Delta S_{12}$ 可以表示为

$\Delta S_{12}=F\int _{P_{1}}^{P_{2}}\!k(s)\,ds=Fk_{12}$

位移和应变

从方程式（）和（）我们得到

$\Delta S_{12}=Fk_{12}={\frac {k_{12}}{k'_{i}}}\epsilon _{i}=k'_{i12}\epsilon _{i}$

位移和应力

从方程式（）和（）我们得到

$\Delta S_{12}=Fk_{12}={\frac {k_{12}}{k_{i}}}\sigma _{i}=k_{i12}\sigma _{i}$

推广

从更一般的角度来看，我们给出以下定义

$\psi =C\psi '$ (3)

其中 $C$ 是一个常数， $\psi$ 和 $\psi '$ 分别是在 $P$ 和 $P'$ 处的一些线性相关的结构参数。

从等式 (3) 和叠加原理我们可以得出结论

 $\psi =c_{0}+c_{1}\psi '_{1}+c_{2}\psi '_{2}+...+c_{n-1}\psi '_{n-1}+c_{n}\psi '_{n}$      (4)

(4) 中的独立参数可以通过执行 $>=n$ 次测试/计算得到。由此可见，例如，可以很容易地根据不同的安全系数对线性测试结果进行缩放。

在从弹性理论得出任何关键结论之前，重要的是要知道结构是否是线性的。结构中非线性行为的常见来源是材料、几何、接触和动态效应。