航空声学/波动方程和格林函数

我们将在后面说明，声波（小幅度波动）在流体中的传播基本上受著名的波动方程控制。因此，在本章中，我们将回顾波动方程的一些数学方面，这将有助于我们理解后面章节中的物理学。**必须注意，我们认为波传播发生在三维空间中，除非另有说明。**

波动方程

波动方程是最简单的线性双曲型偏微分方程 [1]，它控制着波在介质中以有限速度的线性传播。考虑p(x,t)是物理量（如压力扰动），它在空间中作为线性波传播。形式上，波动方程可以写成

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}p=0\,,$

其中 $c_{0}$ 是波传播的速度。这是控制着波在静止介质中传播的齐次波动方程。如果场中存在一个或多个产生波的源，则波动方程将采用非齐次形式

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}p=f(x,t)\,,$

其中f(x,t)表示源的存在。要解决类似上述的非齐次偏微分方程，我们需要使用一种称为**格林函数**的数学工具。

格林函数

格林函数 [2] 以英国数学家乔治·格林 [3] 的名字命名，他首次在 19 世纪 30 年代提出了这个概念。格林函数的概念是解决边界值问题最强大的数学工具之一。

假设我们有一个由下式给出的线性微分方程

$L\,u=f,$

其中L 是微分算子。主要思想是找到一个称为格林函数的函数G，使得上述微分方程的解可以从下式确定

$u(x)=\int G(x,s)f(s)ds$

为了找到给定微分方程的适当格林函数，应该求解

$L\,G(x,s)=\delta (x-s)$

与原始问题的边界条件相同。例如，波动方程的自由空间格林函数是波动方程的解，其中包含一个脉冲点源 $\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta (t-\tau )$（位于点 $\mathbf {y}$ 并在时间 $\tau$ 产生脉冲）。因此，

$\Box ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,t,\tau )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta (t-\tau )$

其中

$\Box ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial \,t^{2}}}-c_{0}^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \,x^{2}}}$.

上述方程的解是

$G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,t,\tau )={\frac {1}{4\pi \,r}}\delta \left(t-\tau -{\frac {r}{c_{0}}}\right)$

其中

$r=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |$

上述关系代表一个从源 $\mathbf {y}$ 扩展的冲量球对称波。还需要提及的是，δ函数的自变量，

$\tau +{\frac {r}{c_{0}}}$

被称为延迟时间，等于由源 $\mathbf {y}$ 在时间 $\mathbf {\tau }$ 生成的波到达点 $\mathbf {x}$ 所需的时间，在时间 $\mathbf {t}$.

因此，如果我们有一个通用问题（比如湍流射流产生的噪声），它受

$\Box ^{2}p=Q(x,t)$

控制，那么空间中任意一点的瞬时解为

$p(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int \int _{-\infty }^{\infty }Q(\mathbf {y} ,\tau )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,t,\tau )d^{3}\,\mathbf {y} d\tau$

在自由空间辐射的情况下，

$p(x,t)={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int {\frac {Q(\mathbf {y} ,\tau )}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c_{0}}}\right)d^{3}\,\mathbf {y} d\tau ={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {Q(\mathbf {y} ,t-|\mathbf {x} -\mathbf {y} |/c_{0})}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}d^{3}\,\mathbf {y}$

参考资料

• M. S. Howe, "Theory of Vortex Sound," Cambridge Texts in Applied Mathematics 2003.