代数/绝对值

代数

对于任何实数 a，a 的绝对值用 | a | 表示（数量两侧的竖线），定义如下：

|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}

根据上述定义，a 的绝对值总是正数或零，但永远不是负数。

从解析几何的观点来看，实数的绝对值是该实数在实数轴上到零点的距离，更一般地说，两个实数之差的绝对值是它们之间的距离。

绝对值函数是一个分段函数，对正数不进行任何操作，对负数进行反转，因此它返回所有正数。

绝对值可以表示为函数：f(x) = |x| = x 如果 x 为正数，= -x 如果 x 为负数。定义域包括所有实数（一旦我们引入更多数字，绝对值就可以扩展到更多数字），值域是所有非负数（所有正数和 0）。

此函数与询问给定数字离零多远相同：6 和 -6 都离零 6 个单位，所以 |-6| = |6| = 6。

绝对值还可以用来“测量”两个数字之间的距离：|a-b| 将返回 a 和 b 相距多少个单位。我们直观地知道 7 离 9 两个单位，9 离 7 两个单位。以下是我们用绝对值看到这一点的方式：|9-7| = |2| = 2 以及 |7-9| = |-2| = 2

绝对值函数绘制的图形表现出从正到负的急剧切换，形成“V”形。

这是 y = |x| 的图形。请注意，当 x 值变为负数时，y 值保持为正数。

绝对值图的变换

[需要更多图片]

绝对值函数的平移是向一个基本方向的移动。从 x 中减去 a（在绝对值内部）将使图形向右移动 a 个单位。从 y 中减去 b（或在绝对值符号外加）将使图形向上移动 b 个单位。y - b = |x - a| 的图形与所示图形相同，只是向右移动了 a 个单位，向上移动了 b 个单位。

绝对值符号外的负号将使图形“翻转”颠倒，因此函数的值域是所有负数，而不是所有正数。

将整个函数乘以 c 将使“V”变宽或变窄。如果 c 大于 1，它将变窄，如果 c 小于 1，它将变宽。

要代数地解一个带有绝对值的方程，应该用分段方程的两半来解。解绝对值，并用 +/- 替换。请记住，这几乎总会产生“错误”解，因此必须“检查”解。

例子

从这里开始，需要解两个不同的方程

以及第二个方程

我们知道如何计算 y，但它仍然取决于 a 是多少。

如果 3a - 5 为正，则 y = a - 3

对于任何 a ≤ 5/3 的值，y = -a + 1/3

下一个例子包含一个不一致的方程

这里，没有有效的解，因为绝对值只能等于正数。看起来你可以继续进行相同的操作，但如果你检查结果，你会发现左右两边不会匹配。