代数/第一章/习题

与第一章概念相关的习题集。

此集合包含 71 个习题（包括概念性问题）。

概念性问题

Q1.1 (外星社会) 想象一下，你遇到了一位来自遥远星球的外星人，他们的所有公民都精通英语，并且每只手上有三个手指。虽然这个文明很聪明，但他们从未学习过什么是“计数”或如何计数。除此之外，他们也从未学习过什么是“数字”，它们叫什么名字，以及它们是什么样子。想想如何教导这位外星人关于计数和数字的知识，以便他们可以回到自己的星球，将这些知识传授给他们的族人。你可能会使用什么工具来解释这个概念？你想要传达哪些概念？这项任务中可能会遇到哪些困难？

Q1.2 (什么是数字？) 用你自己的话定义什么是“数字”。用你自己的话定义什么是“数码”。

Q1.3 (零的符号) 数字零是正数、负数还是既不是正数也不是负数？解释你的理由。

Q1.4 (小数的差) “十”和“十分之一”之间有什么区别？

Q1.5 (完美的图片) 假设数轴真的存在于现实中。如果你退得足够远，你能拍摄到整个数轴的照片吗？

Q1.6 (解释数字的写法) 用你自己的话解释如何写数字，包括用文字形式和用数字符号形式。

Q1.7 (可能的最大数字) 使用数字 0、8 和 4，你能写出最大的和最小的三位数是什么？每个数字只能使用一次，并解释你是如何得出结果的。如果你将这些数字写在小数点右边，你能得到最大的数字是多少。

Q1.8 (一百万) 一百万是一千个一千。解释为什么是这样。

Q1.9 (读错了) 解释将“50,002”读作“五万零二”有什么错误。解释将“2.203”读作“二点二零三”有什么错误。

Q1.11 (数字联想) 每个单词对应什么整数？

1. 零
2. 双人
3. 十年
4. 一对
5. 无
6. 三人组
7. 八十
8. 世纪

Q1.12 (分数问题) 为什么我们不能说下图中 3/5 被涂上了阴影？

图片：300 像素

Q1.13 (大数字) 判断以下说法是否正确：“一个数字的位数越多，它就越大”。

Q1.14 (符号) 一家快餐店的菜单上列出汉堡的价格为 0.99 美分。解释这里有什么错误。

Q1.15 (数轴上的运算) 确定每个图中所代表的运算。

Q1.16 (逆运算) “我今天穿上了鞋，走出家门”的逆运算是什么？

1.17 (小数运算) 解释小数加法如何与整数加法类似，它们又有哪些不同？对小数乘法做同样的解释。

Q1.18 (1 的幂) 求 $1^{2}$ 、 $1^{3}$ 和 $1^{4}$ 。你能对 1 的任何幂做出什么假设？

Q1.19 (零) 写出数字 $10^{1000}$ 需要多少个零？

Q1.20 (运算顺序的步骤) 用你自己的话解释运算顺序的四个步骤。

Q1.21 (运算顺序的步骤 II) 运算顺序是否表明你应该先执行加法再执行减法？它是否表明你应该先执行乘法再执行除法？解释你对这两个问题的理由。

Q1.22 (第一步) 确定评估以下表达式时要采取的第一步。解释你的理由。

1. $15-3*4$
2. $13+(20/5)*2$
3. $8+2(10-4)$

Q1.23 (病毒式数学表达式) 以下看似简单的表达式让互联网上许多人感到困惑。有些人会争辩说答案是 9，而另一些人会争辩说答案是 1。但是，表达式的写法存在一个根本问题，导致了这两个不同的答案，你能找出是什么问题吗？

6/2(1+2)

Q1.24 (列出素数和合数)

1. 列出前 10 个素数。
2. 列出前 10 个合数。

Q1.25 (素数还是合数？) 判断以下数字是素数、合数还是既不是素数也不是合数。

Q1.26 (无限小数展开) 假设分数的分子是 142。为了使分数的小数展开是有限的，分母应该是多少？为了使分数的小数展开是无限的，分母应该是多少？

习题

1.1 节

1.1 (定位数字) 画一条数轴，然后确定以下值可能在数轴上的什么位置。

{\frac {3}{11}},0,0.0001,5,{\frac {1}{4}},-2.3

1.2（比较数字） 对于每组给定的数字，确定哪一个更大。

1. 4, 100
2. 9, 9.0001
3. -7, -2
4. -5, 0
5. 100, 100

1.3（称重公牛鲨） 一位生物学家正在研究公牛鲨种群。她记录了她捕获的四条鲨鱼的重量（单位：磅）。将这些公牛鲨按从轻到重的顺序排列。

公牛鲨重量
鲨鱼	重量
鲨鱼 1	130.5 千克
鲨鱼 2	213.2 千克
鲨鱼 3	97.7 千克
鲨鱼 4	97.1 千克

1.4（位值） 找出下列每个数字中 5 的位值。

1. 5,000,000
2. 0.5
3. 105
4. 3572896
5. 123,456,789
6. 0.000005
7. 8051
8. 85,931
9. 800,026

1.5（写数字） 将以下内容翻译成数学符号

1. 十一
2. 两百七十
3.
4.
5.
6.

1.6（用文字写数字） 将以下数字用文字写出来

1. 9
2. 10
3. 274
4. 8,322
5. 1,000,000,009
6. 1,343,234,985
7. 0.01

1.7（数字的展开形式） 在数字 7,893 中，有“7 个千位”、“8 个百位”、“9 个十位”和“3 个个位”。因此，我们将数字以以下方式写出时，我们说它是**展开形式**

7 个千位 + 8 个百位 + 9 个十位 + 3 个个位
或者
7000 + 800 + 9 + 3

将以下数字写成展开形式

1. 473
2. 6852
3. 73,016
4. 570,003
5. 3,519,803
6. 48,000,061
7. 37.89
8. 124.575
9. 7496.5467
10. 6.40941

1.8（分数图） 写一个分数来描述下面图表中阴影部分所占的比例。写一个分数来描述图表中未被阴影部分所占的比例。

1.9（水果篮） 一个水果篮里有 5 个芒果、7 个苹果、12 个橙子和 20 个石榴。
1. 篮子里有多少比例的水果是苹果？
2. 篮子里有多少比例的水果**不是**橙子？
3. 篮子里有多少比例的水果是橙子或石榴？

第 1.2 节

1.10（用 8 凑成 1000） 八个数字“8”写在一起，如下所示，并在其间插入加号“+”以得到总和 1000。加号是在哪里插入的？

8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8\ \ \ 8

1.11（未知的总和） 在下面的加法问题中，A、B 和 C 代表三个不同的数字。这些数字是什么？

{\begin{array}{r}AAA\\+\ BBB\\\hline AAAC\end{array}}

1.12（未知的乘积） 一个六位数，其最左边的数字是 1，当我们将 1 放到数字末尾时，这个数字会变为原来的三倍。这个数字是多少？

1.13（分数和小数） 使用长除法求出每个分数的小数展开式。

1. ${\frac {27}{100}}$	2. ${\frac {1}{11}}$	3. ${\frac {142}{4}}$	4. ${\frac {2}{11}}$
5. ${\frac {14}{13}}$	6. ${\frac {7000}{9}}$	7. ${\frac {2}{11}}$	8. ${\frac {6555555}{3}}$

1.14（有限小数和循环小数） 您可能已经注意到**问题 1.13** 中，当您将分数转换为小数时，您有时会得到所谓的**循环小数**。例如，分数 ${\frac {3}{11}}$ 。

{\frac {3}{11}}=0.272727272727...

的十进制形式 ${\frac {3}{11}}$ 由两个数字2和7组成一个无限循环的序列。为了简化，我们用0.27来表示它，而不是写上面的表达式。

1. 使用这种带横线的记法来写问题1.13中的每一个循环小数。
2. 我们看到，在上面的分数中，小数部分在两位数后开始循环。我们说这个数的周期为2。同样，我们说数 ${\frac {1}{7}}$ 的周期为6，因为这个数在6位数后开始循环。从下面的数中，哪一个的周期最大？

1.15 (分享披萨) 比利一家订了一份大披萨。他的爸爸吃了 ${\frac {1}{6}}$ ，他的妈妈吃了剩下的 ${\frac {1}{5}}$ 。后来，比利的姐姐吃了一些披萨，然后比利吃了剩下的披萨，正好是他们一开始的一半（比利是个大块头）。姐姐吃了他们父母剩下的多少披萨？

1.16 (邮票收藏) 右边的图显示了邮票，排列成四组，每组四枚。这张图里有多少枚邮票？虽然你可以一个个地数，但有一种更快的方法来得到总数。

1.17 (一个和与一个差) 两个数的和是104，它们的差是32。较大的数的值是多少？

1.18 (在艾莉森的街道上) 艾莉森的家在同一条街上，有图书馆、邮局和超市，如下图所示。艾莉森的家到这三个建筑物的距离各不相同。根据这些信息，艾莉森的家位于哪个点？

第1.3节

1.19 (小数运算) 简化以下包含小数的表达式。

1.20 (分数运算) 简化以下包含分数的表达式。

第1.4节

1.21 (指数形式) 将以下内容写成指数形式。

1. 8 * 8 * 8 * 8
2. 16 * 16 * 16
3. 7 * 7 * 7 * 7 * 7
4. 24 * 24 * 24
5. 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

1.22 (指数表达式) 计算以下指数的值。

1.23 (银行账户) 尼克在第一天存入银行账户2美元，第二天存入4美元，第三天存入8美元。他将继续每天将存款翻倍。他在第十天将存入多少美元？

第1.5节

1.24 (使用运算顺序) 使用运算顺序来简化以下表达式。
1. $2+6-7$
2. $6+10*2$
3. $12$ ÷ $4*6$
4. $12*4$ ÷ $6$
5. $10+3^{2}$
6. $11-2^{2}$
7. $(10-3)^{2}$
8. ${\sqrt {(}}15-6)$
9. $(-2)^{2}(3)^{3}$
10. $4*2^{3}-11$
11. $36$ ÷ $2$ ÷ $6$
12. $18+36$ ÷ $4*3$
13. ${\frac {(12-5)^{2}+2^{3}}{3(13-6)-(8+7)}}$
14. $(12-9)^{3}+420$ ÷ $[3*5+(19-13)]$
15. $4$ { $18-[(10-8)+2^{3}]$ } $-$ { $[485-168+392]+45-24*16$ } ÷ $8$

1.25 (找出错误) 找出以下每个表达式中的错误，然后解释如何正确解决表达式。

第 1.6 节

1.26 (质因数分解) 找出以下数字的质因数分解。1. 693

1.27 (使用可除性规则) 使用可除性测试找出以下商的余数。

1.28 (带分数) 将以下假分数写成带分数。

第 1.7 节

第 1.8 节

第 1.9 节

第 1.10 节

1.29 (集中趋势和离散程度的度量) 找出以下数据集的平均数、中位数、众数和极差。

第 1.11 节

推理与应用

1.30 （计算 24 分之 1） 不进行除法， ${\frac {1}{24}}$ 在 ${\frac {2}{3}}?$ 中有多少个？

1.31 （负负负负……）

1. $-(-(-2))$ 等于多少？
2. $-(-(-(-2)))$ 等于多少？
3. 如果在 2 前面有 20 个减号，会怎么样？
4. 如果在 2 前面有 75 个减号，会怎么样？

1.32 （使用条形图） 查看下面的图表，并使用它回答以下问题。

1.33 （使用多重条形图） 查看下面的图表，并使用它回答以下问题。

1.34 （使用折线图） 查看下面的图表，并使用它回答以下问题。

1.35 （创建条形图） 查看下面的表格，并使用它创建一个条形图。

1.36 （读取仪表） 家庭中用电量以千瓦时为单位。确定下面显示的仪表的读数。（当指针位于两个数字之间时，使用较小的数字）。

1.37 （高空） 下表显示了每种云类型的飞行高度。将这些数字绘制在下面的垂直数轴上。

1.38 （尺子） 查看下面的尺子图。

1. 从 0 到 1 之间有多少个刻度？
2. 箭头指向哪个数字？

1.39 （页码） 一本包含 450 页的书，需要多少个数字才能给所有页面编号？

1.40 （带循环小数的运算） 计算

1. 0.55555... + 0.66666...
2. 0.99999... + 0.11111...
3. 1.11111... - 0.22222...
4. 0.33333... * 0.66666...
5. 1.22222... * 0.81818...

挑战问题

1.41 （从 12 中取数字） 使用从 0 到 9 的数字各一次，可以写出最大的 12 的倍数是多少？

1.42 （从 1 到 10） 为了让你思考这个问题，尝试这个简单的数学游戏

将 1 到 10 的数字放在等式的左侧，并为右侧选择一个数字。

例如：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 1

现在在这些数字之间添加运算符。只有在必要时使用括号。

例如：1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 8 - 9 - 10 = 1

1. 更改等式右侧的数字。你能生成此数字的表达式吗？如果不能，你能证明为什么不能吗？
2. 如果你改变数字的顺序，结果会改变吗？

1.43 （差分方块） 画一个正方形。在这个正方形的每个角上，写下数字 7、5、9 和 2。现在，在第一个正方形周围画一个第二个正方形，使其穿过较小正方形的四个角。在第二个正方形的每个角上，写下较小正方形最近角上数字的差值：7-5 = 2、9-5 = 4、9-2 = 7 以及 7-2 = 5。

重复此过程，直到你得到一组不改变的四个数字。

1. 规律是什么？
2. 尝试使用另外一组四个起始数字执行相同的过程。你是否最终得到相同的规律？
3. 解释发生了什么。

1.44 （二进制数系统）

1.45 （十六进制数系统）