代数/第 17 章/轨迹

代数

距离公式

代数 第 17 章：圆锥曲线 第 2 节：点的轨迹

圆锥曲线

17.2：点的轨迹

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到目前为止，我们求解或绘制的所有方程都只考虑了一个变量。

轨迹

轨迹（复数：轨迹）是一组满足一组条件的点。通常的结果是一条曲线或一个曲面。

在现实生活中，你可能听说过物体的位置。事实上，"位置"一词就来自"轨迹"本身。轨迹定义了物体在平面或空间中的位置。

右边的照片说明了一组点（或轨迹），这些点是车头灯在所有车辆都沿着道路路径行驶的条件下所描绘的。在这个比喻中

点集：照片中所见的车头灯的位置
条件：车辆必须遵循的道路
轨迹：道路中所描绘的车道

不幸的是，没有通用的方程来寻找轨迹。然而，通常使用以下步骤来确定轨迹的方程。

1. 绘制一个显示给定信息的图
2. 找到几个满足规则或条件的点
3. 使用所找到的点绘制一条曲线或直线
4. 写出方程

等距

例 17.1：找出点 $P$ 的轨迹，使得 $P$ 到两条坐标轴的距离相等。 x 轴上的一点有坐标 $(x,0)$，y 轴上的一点有坐标 $(0,y)$。

练习题

问题 17.1（等距） 找出点 $P$ 的轨迹，使得 $P$ 到 $(5,-1)$ 和 $(3,-8)$ 的距离相等。

问题 17.2（救护车站） 两家医院分别位于 (5, -1) 和 (2, 8) 点。要建造一个救护车站，使其到两家医院的距离相等。确定到两家医院距离相等的点的轨迹。

问题 17.3（圆的轨迹）

a. 验证点 $(-3,4)$ 和 $(4,3)$ 位于圆 $x^{2}+y^{2}=25$ 上。
b. 确定到点 $(-3,4)$ 和 $(4,3)$ 距离相等的点的轨迹。
c. 确定圆心与到点 $(-3,4)$ 和 $(4,3)$ 距离相等的点的轨迹之间的关系。

问题 17.4 (杆) 一根长度为 $l$ 的杆的两端分别在 x 轴和 y 轴上滑动。求杆的中点的轨迹。

问题 4 的解答

$4x^{2}+4y^{2}=l^{2}$

问题 17.5 (第三个顶点) 三角形的两个顶点位于 $(-3,5)$ 和 $(1,2)$。求第三个顶点的轨迹，使得三角形的面积为 10 平方单位。

问题 17.6 (从有序对获得轨迹) 绘制有序对的集合。然后写出所有点可能满足的轨迹方程。

a. $\{(-5,0),(5,0),(0,-5),(0,5)\}$
b. $\{(0,0),(-1,1),(1,1),(-2,4),(2,4),(-3,9),(3,9)\}$
c. $\{(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4),(25,5),(36,6)\}$

问题 17.7 (从直线获得轨迹) 确定一个或多个方程来表示到每对直线距离相等的点的轨迹。

a. $y=x$ 和 $y=-x$
b. $y=2x+2$ 和 $y=-2x+2$
c. $y=2x$ 和 $y=0.5x$

问题 17.8 (从根式获得轨迹) 确定一个或多个方程来表示到每对图距离相等的点的轨迹。

a. $y=-{\sqrt {x}}$ 和 $y={\sqrt {x}}$
b. $y={\sqrt {x}}+4$ 和 $y=-{\sqrt {x}}-6$

问题 17.9 (花坛) 喷泉的外缘是距离中心 2 米的点的轨迹。花坛的外缘是距离喷泉中心 3 米的点的轨迹。喷泉和花坛之间没有空隙。画出花坛，并计算其面积。

问题 17.10 (描述轨迹) 描述并列出平面上距离原点 13 个单位，距离 y 轴 12 个单位的点的轨迹。

问题 17.11 (距离的三倍) 求一个点到原点的距离是其到 x 轴距离的三倍的轨迹方程。