代数/第 17 章/勾股定理

代数

------------------------	代数第 17 章：圆锥曲线第一节：距离公式	点的轨迹

17.1：距离公式

勾股定理概述

数学的第一个表达更接近几何而不是代数，而希腊人是第一个为了数学本身而研究数学的人，这导致了广义理论和证明。一位名叫欧几里得的希腊数学家写了一本书叫做"几何原本"，它将几何呈现为从 5 个公理或给定和 5 个关于逻辑的“常识”断言推导出的逻辑体系。

在欧几里得的几何原本中，命题 47 是勾股定理，它指出“在任何直角三角形中，斜边（与直角相对的边）的边长的平方等于两条直角边（在直角处相交的两条边）的边长的平方之和”。这句话很长，但正如我们将在下面的代数中看到的那样，我们可以将其写成 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。右边的动画显示了欧几里得证明命题 47 的动画。

勾股定理上的文章展示了几种其他证明勾股定理的方法，包括未来美国总统詹姆斯·加菲尔德在 1876 年发表的一种方法！

符合定理的整数被称为勾股数，我们很快就会讨论。一块泥板表明，勾股数在近 4000 年前就被记录下来，比毕达哥拉斯早 1000 年。一位考古学家推测，这块泥板可能是一名老师给学生布置的一组习题。

距离公式 - 在代数中使用勾股定理

假设在一个坐标平面上有两个点。您将如何找到它们之间的距离而不需要尺子？提示：画一个直角三角形。看看你能否在偷看之前自己弄清楚！

假设您有两个点，(x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，并且假设它们之间直线的长度为 d。您可以通过注意到，您可以在任何两个点之间遵循以下路径来获得一个直角三角形：从点 1 开始，改变 x（保持 y 不变），直到您正好位于点 2 的上方或下方，然后改变 y 并保持 x 不变，直到您到达点 2。

要做
这可以使用图表来指出这里所说的话

如果您遵循此路径，您绘制的第一段的长度为 $|x_{2}-x_{1}|$ ，第二段的长度为 $|y_{2}-y_{1}|$ 。此外，由于这两条线段形成直角三角形，因此勾股定理适用，我们可以写成 $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}\,$ 或者，解出 d，

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

这个公式被称为距离公式。

另一个公式是（并且更简单）

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

勾股数

如果存在三个正整数是直角三角形的边（较小的两个整数的平方和等于最大整数的平方），那么这三个数被称为勾股数。常见的勾股数包括

3-4-5

5-12-13

7-24-25

8-15-17

12-35-37

20-21-29

注意：如果三个数 a-b-c 是一个勾股数，那么这个勾股数的所有后续倍数都将满足勾股定理。

勾股数及其倍数
乘数	3-4-5	5-12-13	7-24-25	8-15-17	12-35-37	20-21-29
X 2	6-8-10	10-24-26	14-48-50	16-30-34	24-70-74	40-42-58
X 3	9-12-15	15-36-39	21-72-75	24-45-51	36-105-111	60-63-87
X 4	12-16-20	20-48-52	28-96-100	32-60-68	48-140-148	80-84-116
X 5	15-20-25	25-60-65	35-120-125	40-75-85	60-175-185	100-105-145
等等。	...	...	...	...	...	...

并非所有数字都能构成勾股数。事实上，如果你在笛卡尔坐标系上连接一个正方形的角，你就画了一条具有无理数长度的线。 $1^{2}+1^{2}=2$ 所以这条线的长度是 ${\sqrt {2}}$ 。据说证明了这一点的希腊数学家希帕索斯被扔下船溺死，因为他证明了 ${\sqrt {2}}$ 是无理数。

维基百科关于勾股数的文章展示了对勾股数的数学研究。如果你点击文章中的链接，你会发现现代数学家仍在发现它们的新模式。即使你不认为勾股数本身很有趣，也值得记住第一组：3-4-5。你很可能在标准化测试或文字题中遇到这些数字。离开学校后，你会发现机会利用这些长度来快速检验你所看到的角度是否为直角。