代数/第 2 章/练习

与第 2 章概念相关的练习集。

此集合包含 50 道练习（包括概念性问题）

概念性问题

Q2.1（它们一样吗？） “比一个数少 3” 与 “3 与一个数的差” 是同一个意思吗？ “比一个数多 3” 与 “3 与一个数的和” 呢？ 在两种情况下解释你的推理。

Q2.2（系数） 表达式 x + 2 是否有 x 的系数？ 表达式 yx + 2 呢，其中 y 可以取任何数？ 如果有，请在每个表达式中确定 x 的系数？ 如果没有，请解释你的推理。

Q2.3（数学表达式的解剖） 看看下面的表达式。 定义所有简化表达式的项、变量、系数和常数。

$3x^{2}+4y+y+6$

Q2.4（常数和变量） 字母将用于表示不同的数字。 确定以下数量是否应该被称为变量或常数。

$a.\ T$，你家外面的温度。
$b.\ F$，普通人手中手指的数量。
$c.\ P$，一加仑汽油的价格。
$d.\ L$，树上的叶子数量。
$e.\ S$，矩形的边数。
$f.\ I$，一英尺的英寸数。
$g.\ Y$，自上次登月以来的年数。
$h.\ D$，一盒未开封的一打甜甜圈中的甜甜圈数量。
$i.\ W$，计算机屏幕上打开的窗口数量。
$j.\ R$，你在本书中尝试的题目数量。
Q2.5（博物馆门票） 进入博物馆的总费用为 25a + 10c + 8s，其中 a 为成人，c 为儿童，s 为老年人。 每个成人、儿童和老年人分别需要支付多少费用才能入场？ 如果一个家庭有两名成人、三个孩子和一名老年人想进入博物馆，他们总共需要支付多少钱？

Q2.6（零作为常数项？） 像 x + y 这样的表达式可以改写为 x + y + 0。 如果是这样，是否一定正确地认为零是任何给定表达式的常数项？

Q2.7（数学中的语法） 如果数学表达式类似于语言中的“名词”，那么数学表达式的哪一部分类似于“动词”？ 哪一部分类似于“连词”？

Q2.8（识别数学语句） 以下哪些句子是陈述？

Q2.9 对于以下问题，说明给定的陈述是相同还是不同。

Q2.10（集合的集合） 给出三个元素是集合的集合的例子。

Q2.11（集合的集合的集合） 给出一个元素是集合的集合的集合的例子。

Q2.12（关联数字类型） 参考第 2.4 节中的数字类型部分。 创建一个韦恩图，显示列出的每种数字类型如何相互关联。

练习

第 2.1 节

2.1（写/简化表达式） 写一个最能表示以下内容的表达式。 尽可能简化。

2.2（计算表达式） 针对给定的变量值计算每个表达式。

$a.\ x+3,\ x=3$	$b.\ 10x-3,\ x=3$	$c.\ 4a-2,\ a=9$	$d.\ {\frac {-n-1}{3}},\ n=11$	$e.\ {\frac {-b-2}{7}},\ b=5$
$f.\$	$g.\$	$h.\$	$i.\$	$j.\$
$k.\$	$l.\$	$m.\$	$n.\$	$o.\$
$p.\$	$q.\$	$r.\$	$s.\$	$t.\$

第二节 2.2

2.3 (编写数学句子) 编写一个最能代表以下内容的数学句子。

第二节 2.3

2.4 (元素或否?) 判断数字 10 是否是以下集合的元素。

1. $\{4,5,6,...,15\}$
2. $\{1,2,3,4,5,...\}$
3. $\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},...\}$
4. $\{x|x\ is\ a\ whole\ number\ greater\ than\ 11\}$
5. $\{x|x\ is\ a\ whole\ even\ number\}$
6. 集合 $C$ 由合数组成

2.5 (列举法) 以下每个集合都是使用列举法定义的。

i. $\{1,4,9,16,25...\}$
ii. $\{0,4,8,...,96,100\}$
iii. $\{3,9,15,21,27...\}$
iv. $\{...,-\pi ^{4},-\pi ^{3},-\pi ^{2},-\pi ,1\}$

1. 确定以上集合中可能出现的另外四个元素。
2. 使用集合生成式描述以上集合。

2.6 (汽车分类) 构造一个维恩图，说明以下集合在包含美国制造的汽车的全集中的可能并集和交集。

$F:Fourdoor,S:Sunroof,P:Powersteering$

2.7 (集合运算 I) 令 $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}$, $M=\{0,2,4,6,8\}$, $N=\{1,3,5,7,9,11,13\}$, $Q=\{0,2,4,6,8,10,12\}$, 以及 $R=\{0,1,2,3,4\}$.

使用这些集合来查找以下内容。

2.8 (集合操作 II) 令 $U=\{copper,sodium,nitrogen,potassium,uranium,oxygen,zinc\}$，$A=\{copper,sodium,zinc\}$，$B=\{sodium,nitrogen,potassium\}$，$C=\{oxygen\}$。

使用这些集合来查找以下内容。

2.9 (集合操作 III) 若 $U=\{x|0<x<12\}$，$M=\{x|1<x<9\}$，以及 $N=\{x|0<x<5\}$。

使用这些集合来查找以下内容。

2.10 (集合操作 IV) 假设 $A$，$B$，和 $C$ 是全集 $U$ 的子集。

使用韦恩图，阴影表示以下区域。

2.11 (下标的使用) 对于一个整数 $j$，$x_{j}=(-1)^{j}$。求 $x_{0}$，$x_{1}$，和 $x_{183}$ 的值。

2.12 (数字列表) 请参考下面的数字集合，并使用它来回答以下问题。

$x=\{5,11,14,9,3,25,16,8,1,11,68,63,43,99,35,100\}$

1. 在该集合中，哪个数字表示 $x_{3}$？
2. 在该集合中，哪个数字表示 $x_{10}$？
3. 列表中哪些符号可以用来表示数字 25？
4. 列表中哪些符号可以用来表示数字 11？
5. 在 $x_{n}$ 中，$n$ 代表什么数字？
6. $x_{n}$ 取什么值？

第 2.4 节

2.13（数字分类） 确定每个数字属于哪些数字集。

$a.\ 12$	$b.\ -7$	$c.\ 0$	$d.\ {\frac {1}{7}}$	$e.\ {\frac {16}{13}}$
$f.\ -8.08$	$g.\ -{\frac {24}{365}}$	$h.\ 0.1231231234...$	$i.\ (10)^{2}$	$j.\ 0.5{\overline {678}}$
$k.\ 2.0{\overline {505}}$	$l.\ {\frac {1}{2}}$	$m.\ {\sqrt {17}}$	$n.\ {\frac {37}{0}}$	$o.\ \pi$
$p.\ {\sqrt {9}}$	$q.\ {\sqrt {\frac {1}{36}}}$	$r.\ -5000$	$s.\ -{\sqrt {36}}$	$t.\ 5+{\sqrt {2}}$
$u.\ {\sqrt {\frac {294}{6}}}$	$v.\ 1.23456789101112...$	$w.\ {\frac {\sqrt {100-81}}{\sqrt {76}}}$	$x.\ (10.25)^{2}$	$y.\ {\sqrt {0.33}}$

推理与应用

2.14 （前沿） 一根 12 英尺长的绳子被剪成两段不同长度的绳子。用一个变量来表示这两段绳子的长度。

2.15 （玩球！） 篮球的直径大约是棒球的 4 倍。用棒球的直径来表示篮球的直径。

2.16 （零钱） 假设你的口袋里有 d 个一角硬币和 n 个五分硬币。写一个表达式来表示你口袋里的总金额。用这个表达式来计算一下，如果你有 9 个一角硬币和 7 个五分硬币，你会有多少钱。

2.17 （温度单位 I） 公式

$C={\frac {5}{9}}(F-32)$

表示华氏温度 F 与摄氏温度 C 之间的关系。使用此方程将 $50^{\circ }F$，$86^{\circ }F$，$32^{\circ }F$，$100^{\circ }F$，以及 $-50^{\circ }F$ 转换为它们在摄氏温标上的等效温度。

2.18 （温度单位 II） 公式

$K=C+273.15$

表达式摄氏温度C与开尔文温度K之间的关系。使用此方程式将$-273.15^{\circ }C$，$30^{\circ }C$，以及$100^{\circ }F$ 转换为开尔文尺度上的等效温度。

2.19 (糖的化学式) 葡萄糖（糖）的化学式为$C_{6}H_{12}O_{6}$。这个公式意味着每个葡萄糖分子中每 6 个碳原子和 6 个氧原子有 12 个氢原子。如果x表示一磅糖中氧原子的数量，请表示相同一磅糖中氢原子的数量。

2.20 (积木) 看看下面积木的排列。第 17 个图中将出现多少个积木？

2.21 (多边形中的三角形) 在三角形中，有三条边。我们显然可以观察到，它包含一个三角形。在四边形中，有四条边。我们可以观察到，通过沿着它的角划分，可以从中得出两个非重叠的三角形。在五边形中，有五条边。我们可以观察到，通过沿着它的角划分，可以从中得出三个非重叠的三角形。使用此信息，您可以通过沿着它的角划分从十边形（10 边形）中得出多少个非重叠的三角形？

2.22 (连续数字的乘积) 如果两个数字在数字顺序中相互跟随，则它们是连续的。例如，数字 4 和 5 是连续的，因为 5 在 4 之后。两个这样的数字的乘积的代数表示是什么？

2.23 (奇数) 写一个表达式来表示第 n 个奇数O。（第一个奇数是 1，第二个奇数是 3，依此类推）之后，使用此表达式来求出第 143 个奇数。

2.24 (魔术技巧) 选择任何数字。在该数字上加 3，然后将结果乘以 2。减去所选数字，然后减去 4，然后再次减去所选数字。你最终得到的数字是 2，对吧？为什么这个技巧有效？

2.25 (指数爆炸) 对于以下各项，确定第一个大于 1 的整数 x，其中第二个表达式大于第一个。

$a.\ x^{3},\ 3^{x}$
$b.\ x^{4},\ 4^{x}$
$c.\ x^{5},\ 5^{x}$
$c.\ x^{6},\ 6^{x}$

2.26 ($x^{n}$ vs. $n^{x}$) 基于您对问题 2.15 的回答，提出一个关于两个表达式$x^{n}$ 和 $n^{x}$，其中 n = 3, 4, 5, 6, 7, .... 并且 x 是大于 1 的整数。

2.27 (减重积分) 一些减重计划为准备好的或包装好的食物分配积分，这些积分考虑了食物的脂肪F、碳水化合物C、蛋白质P和纤维B含量（以克为单位）。给定食品的积分值可以用以下表达式表示

$W={\frac {F}{4}}+{\frac {C}{9}}+{\frac {P}{10}}-{\frac {B}{12}}$

确定左侧营养成分表中一serving食品的积分值。

2.28 (调整后的贫困线) 1999 年至 2013 年期间，单身人士的调整后的贫困线可以通过以下公式近似计算

$y=2.719x^{2}+196.1x+8718$

其中 x=0 对应于 1999 年，x=1 对应于 2000 年，依此类推，y 是平均调整后的贫困线。根据该模型，2005 年的平均调整后的贫困线是多少？2012 年呢？

2.29 (摆的周期) 摆摆动的周期 t（以秒为单位）由下式给出

$t=2\pi {\sqrt {\frac {L}{32}}}$

其中 L 是摆的长度（以英尺为单位）。求一个 8 英尺长的摆的周期。

问题 2.20 (长度的变化) 考虑以下三角形，其边长为s。如果我们将边的长度增加 5，求出三角形的周长。如果我们将边的长度翻倍，求出三角形的周长。

2.30（金属线） 将长度为x的金属线弯成正方形。用x表示正方形边长。

2.31（矩形面积） 矩形的面积为 24 $in.^{2}$，长为b英寸。表达式 ${\frac {24}{b}}$ 表示什么？它的单位是什么？表达式 $2(b+{\frac {24}{b}})$ 表示什么量？

2.32（直角三角形面积） 推导出一个表达式来表示底为b，高为h的直角三角形的面积。（提示：将矩形沿对角线平分。）

2.33（菜园） 一个矩形的菜园长12米，宽20米。菜园周围有一条宽度为w的砾石路。
a. 写一个表达式来计算砾石路的外部周长。
b. 如果你测得w为3米，那么路的外部周长是多少？

2.34（赛道） 奥运赛道由两条直边组成，每条长度为84.39米，以及两条半圆形弯道组成，半径为36.5米，如图所示。赛道宽度为w。
a. 写一个表达式来计算赛道的外部周长。（记住圆周长为 $2\pi r$）
b. 如果你测得赛道宽度为1.22，那么路的外部周长是多少？

2.35（棱柱体积） 棱柱 由两个平行且形状相同的平行多边形面构成。一个形状的体积是指它所占据的空间大小。例如，下面的矩形棱柱。

推导出一个表达式来表示以下棱柱的体积，然后计算它的体积。

2.36（平方差）

$x$	$y$	$(x+y)(x-y)$	$x^{2}-y^{2}$

a. 为x和y选择两个不同的值，然后填写上表的第一行。

b. 比较你对这两个表达式的结果。你认为部分a的结果告诉你关于平方差的什么？

c. 填写表中x和y不同值的剩余行，包括负数。你认为部分(b)中的猜想是正确的吗？解释一下。

2.37（不等式） 确定$x$和$y$上的哪些符号值将使以下语句成立。

$a.\ xy>0$	$b.\ x^{2}y>0$	$c.\ {\frac {x}{y}}<0$
$d.\ -{\frac {x}{y}}<0$	$e.\ -{\frac {x^{2}}{y}}>0$	$f.\ {\frac {y^{3}}{x^{2}}}>0$

2.38 (平均) 使用下标符号写出表示$n$ 个数字平均值的表达式。