代数/第二章/实数/“为什么”问题的答案

每个答案值 0-5 分。

11. 取两个有理数 ${\frac {a}{b}}$ 和 ${\frac {c}{d}}$，这两个数的乘积是 ${\frac {ac}{bd}}$，它仍然是有理数（记住，有理数是可以表示为两个数的比率的数）。这是一个有理数的封闭性质的例子。

13. ${\sqrt {2}}$ 是无理数，但是，${\sqrt {2}}{\sqrt {2}}=2$ 是一个整数。

15. 考虑两个数字 $1+{\sqrt {2}}$ 和 $1-{\sqrt {2}}$，这两个数字都是无理数，但是当你把它们加在一起时，无理数部分“抵消”了，你只剩下一个有理数部分。换句话说，因为你总是可以将一个数字与其负数相加得到 0（我们认为它是合理的），所以你总是可以从一个无理数中得到一个有理数。

17. 因为如果 $x$ 是无理数，但 ${\sqrt {x}}$ 等于 $a/b$，对于某些整数 $a$ 和 $b$，那么 $x$ 将等于有理数 $a^{2}/b^{2}$，这与 $x$ 是无理数的事实相矛盾。

19. 两个有理数的乘积是有理数（见第一个挑战问题），类似地，两个有理数的和也是有理数。如果 $x$ 是有理数，那么 $x+1$ 是有理数，那么 $x(x+1)$ 也必须是有理数。因此，$x$ 必须是无理数。

将这些答案的测验分数加到你的分数中，以确定你的最终分数。