代数/等比数列 (GP)

在数学中，等比数列，也称为等比序列，是一个数字序列，其中第一个数字之后的每个数字都是通过将前一个数字乘以一个固定的非零数字（称为公比）得到的。例如，序列 2, 6, 18, 54, ... 是一个公比为 3 的等比数列。类似地，10, 5, 2.5, 1.25, ... 是一个公比为 1/2 的等比序列。

示例 1
等比数列 (GP) 的一个典型例子是人口增长。假设人口每 15 年翻一番。如果 2012 年人口为 70 亿，那么 2027 年人口将为 140 亿。

由于我们知道人口每 15 年翻一番，这意味着从 2012 年的 70 亿到 2027 年（15 年后）是 140 亿，因为：$7\cdot 2=14.$

那么 2042 年的人口是多少？如果你说是 280 亿，那么你是正确的。那么你是怎么得到 28 的呢？你将 14 乘以 **公比** 2 来得到 28。因此，为了得到 GP 的下一项，你总是将公比乘以当前项，为了得到前一项，你总是将当前项除以公比。

一个更通用的公式来获得 GP 的第 n 项是：$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

其中 $a_{1}$ 是 GP 的首项，r 是 GP 的 **公比**。
因此，GP 的一般项是
$a_{1},\;a_{1}r,\;a_{1}r^{2},\;\dots \;a_{1}r^{n-1}$

求等比数列前 n 项的和

当需要求首项为 $a_{1}$ 的 GP 的前 n 项之和时，使用
如果 **|r| < 1**，则使用：$s_{n}=a_{1}{\frac {(1-r^{n})}{(1-r)}}$

如果 **|r| > 1**，则使用：$s_{n}=a_{1}{\frac {(r^{n}-1)}{(r-1)}}$

备注

1. 公比 **|r| > 1** 的无穷等比数列的和本质上是无穷大。

1. 公比 **|r| < 1** 的无穷等比数列的和为 $s_{n}={\frac {a_{1}}{(1-r)}}$