代数/函数的逆

本章介绍函数时，将其描述为一种特殊的關係。关系仅仅是两个数字之间的连接。另一方面，函数只有一个数字与另一个数字的连接。例如，绝对值是一个函数，因为任何数字的绝对值都只映射到一个数字。另一方面，开方运算是一种关系。 ${\sqrt {x}}^{2}$ 可以对 $x$ 或 $-x$ 为真。

我们将加法的单位元定义为 0，乘法的单位元定义为 1。这是因为将零加到一个数字不会改变该数字，或者将一个数字乘以 1 不会改变该数字。我们将加法的逆定义为减法。这是因为 a - a = 0。乘法的逆是除法（除了 0），因为 a / a = 1。我们将函数的逆定义为函数 g，使得 g(f(x)) = x。

例如，平方函数的逆是平方根函数，对于整数而言。也就是说，对于零和非负有理数，${\sqrt {x}}^{2}=x$。但这对于实数并不成立。对于实数，${\sqrt {x}}^{2}=x\ or-x$。

在解释关系的定义域和值域时，我们将垂直线测试定义为：在笛卡尔坐标系中，如果我们让 x 轴表示函数的定义域，y 轴表示函数的值域，那么如果图形在图上每一点处都被垂直线最多交叉一次，那么这种关系就是函数。垂直线测试是一种非正式的方式，可以查看关系是否为函数。我们也可以用它来判断函数是否有逆。例如，如果我们令 $y=x^{2}$，我们可以从其图形看到它是一个函数。另一方面，如果我们绘制 $y={\sqrt {x}}$ 的图形，我们可以看到垂直线将穿过图形两次，对于除了 0 以外的每个值。