代数/迭代

代数

迭代

迭代是一种通过反复猜测来计算或寻找函数值的方法，每次猜测都越来越接近正确答案。这在计算机程序中很常见，在这种情况下，这种类型的评估比直接代数操作更容易。它也用于纯数学，其中问题的答案要么非常难以找到，要么不可能使用代数操作找到。迭代的主要问题是它需要很多步骤才能得到一个足够精确的计算值。然而，由于现代计算机的速度，它仍然是一个非常有效的计算方程值的方法。

何时使用迭代

迭代可以用于需要在计算机程序中评估的所有方程。由于实现这种类型的评估所需的代码很简单，以及计算机可以计算结果的准确性和速度，它是计算机评估数学表达式的最有效方法之一。

迭代也可以用于无法使用传统数学技术求解的公式。例如，对于方程 $27=e^{x}+x$ ，没有已知的方法可以直接求解 x。然而，使用迭代，很容易计算出正确答案 3.17（精确到小数点后两位）。

第三，迭代作为问题正确解的指南很有用。例如，要评估方程 $x^{3}-3*x^{2}-10*x+24$ 中的所有 x 值，必须首先使用余数定理和试错法，或者涉及该方程根的和、积以及积的和的复杂联立方程来找到一个根。通过使用迭代，可以很容易地找到一个根，从而使最终解的计算变得更容易。

最后，迭代可用于为数学问题的解提供估计值。使用迭代，简单的算术错误通常可以检测到，因为计算结果与预期结果不匹配（参见数学估计技术）。

何时不使用迭代

迭代不能用于证明数学方程。这是因为迭代永远不会提供问题的精确答案，而只是越来越准确的估计值。

此外，有时迭代方法无法计算出方程的正确答案。这将在后面讨论。

如果被测试的方程使用仅对整数值有效的函数，迭代将不起作用。例如，包含阶乘的方程将不起作用。

最后，对于具有多个根的方程，迭代方法只会找到一个（根）。

如何使用迭代

一旦理解了基础知识，迭代就非常容易使用。请注意，需要基本的函数符号才能理解此解释。

将方程的所有元素移到方程的一侧，使方程的一侧等于 0，并将另一侧称为 f(x)
绘制 f(x) 的粗略图，找到 f(x) = 0 的 x 值的估计值。将此值称为 x1。
选择 x1 左侧和右侧的值，并找到 f(x2) 和 f(x3)。
如果 f(x2) 或 f(x3) 与初始猜测的评估值符号不同。
1. 如果 f(x2) 或 f(x3) 比 f(x1) 更接近 0，则选择 x2 或 x3 作为新的 x1，并从步骤 3 重新开始。
2. 否则，尝试初始猜测左侧和右侧的不同值。
如果 f(x2) 或 f(x3) 与 f(x1) 符号相反
1. 取 xA = x1，xB = x2 或 x3。
2. 从 xA 和 xB 之间取一个新的猜测 xC（即 $xC=(xA+xB)/2$ ）。例如 xC = 3.5
3. 如果 f(xC) 与 f(xA) 符号相反
  1. 使 xB = xC
  2. 从步骤 5b 重复，直到达到所需的精度
4. 如果 f(xC) 与 f(xB) 符号相反
  1. 使 xA = xC
  2. 从步骤 5b 重复，直到达到所需的精度

以下是一个此过程在操作中的示例

$x^{2}+lnx+3^{x}=87$ 变为
$f(x)=x^{2}+lnx+3^{x}-87=0$ （注意一侧等于 0）。
显然 $3^{x}$ 必须小于 87，才能使 f(x) 等于 0。 $3^{4}=81$ 将是一个很好的近似值，因为 81 几乎抵消了 -87。因此 x1 = 4。
f(x1) = 11.38
尝试 x2 = 3... $f(3)=-49.90$
x3 = 5... $f(5)=182.61$
没有必要。
f(x1) 与 f(x2) 符号相反
a) xA = 4，xB = 3
f(xA) = 11.38

f(xB) = -49.90

b) xC = (4 + 3) / 2 = 3.5
f(xC) = f(3.5) = -26.73

c) f(xC) 与 f(xA) 符号相反
i) xB = 3.5
f(xB) = -26.73

ii) 返回步骤 5b

5  b) xC = (3.5 + 3) / 2 = 3.25
      f(xC) = -39.72
   c) f(xC) is opposite sign to f(xA)
      i) xB = 3.25
         Take xB as answer

这就是全部了。看起来好像需要在纸上做很多工作，但通常一旦你理解了迭代方法，就可以跳过大部分工作。